Sejam C^3 um espaço vetorial sobre um corpo C e B=(1,0,1)(1,1,1),(2,2,0) uma base. Determine uma base para B^*

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma base para , onde é uma base de . Estamos trabalhando com espaços vetoriais e bases, então vamos precisar entender o que é a base dual .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para cada base de um espaço vetorial, existe uma base dual para o espaço dual . A base dual tem a propriedade de que , onde é o delta de Kronecker (igual a 1 se e 0 caso contrário).

Passo 3

Para encontrar os fi(x, y, z) = ai x + bi y + ci z , precisamos resolver um sistema de equações. Vamos supor que cada fi(1,0,1) = de seja uma aplicação linear representada por um vetor linha , de modo que:
Queremos que:

Passo 4

Vamos montar o sistema de equações para cada a1 cdot 1 + b1 cdot 0 + c1 cdot 1 = 1 a1 cdot 1 + b1 cdot 1 + c1 cdot 1 = 0 a1 cdot 2 + b1 cdot 2 + c1 cdot 0 = 0 :
Para a2 cdot 1 + b2 cdot 0 + c2 cdot 1 = 0 a2 cdot 1 + b2 cdot 1 + c2 cdot 1 = 1 a2 cdot 2 + b2 cdot 2 + c2 cdot 0 = 0 :
a3 cdot 1 + b3 cdot 0 + c3 cdot 1 = 0 a3 cdot 1 + b3 cdot 1 + c3 cdot 1 = 0 a3 cdot 2 + b3 cdot 2 + c3 cdot 0 = 1
Para :
Para :

Passo 5

Vamos resolver o sistema para a1 + c1 = 1 (1) a1 + b1 + c1 = 0 (2) 2a1 + 2b1 = 0 (3) :
(-b1) + b1 + c1 = 0 Rightarrow c1 = 0
Da equação (3): a1 + 0 = 1 Rightarrow a1 = 1
Substituindo na equação (2):
Agora, da equação (1):
E como , temos
Então,

Passo 6

Agora, vamos resolver para a2 + c2 = 0 (1) a2 + b2 + c2 = 1 (2) 2a2 + 2b2 = 0 (3) :
(-b2) + c2 = 0 Rightarrow c2 = b2
Da equação (3): (-b2) + b2 + b2 = 1 Rightarrow b2 = 1
Substituindo na equação (1):
Substituindo e na equação (2):
Então, e
Portanto,

Passo 7

Por fim, vamos resolver para a3 + c3 = 0 (1) a3 + b3 + c3 = 0 (2) 2a3 + 2b3 = 1 (3) :
(-c3) + b3 + c3 = 0 Rightarrow b3 = 0
Da equação (1): 2(-c3) + 2(0) = 1 Rightarrow -2c3 = 1 Rightarrow c3 = -12
Substituindo na equação (2):
Agora, da equação (3):
E
Então,

Resposta

Uma base para é .

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