um espaço vetorial sobre um corpo uma base. Determine uma base para

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma base para , onde é uma base de . Estamos trabalhando com espaços vetoriais e bases, então vamos precisar entender o que é a base dual .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para cada base de um espaço vetorial, existe uma base dual para o espaço dual . A base dual tem a propriedade de que , onde é o delta de Kronecker (igual a 1 se e 0 caso contrário).

Passo 3

Para encontrar os , precisamos resolver um sistema de equações. Vamos supor que cada seja uma aplicação linear representada por um vetor linha , de modo que:
Queremos que:

Passo 4

Vamos montar o sistema de equações para cada :
Para :
Para :
Para :

Passo 5

Vamos resolver o sistema para :
Da equação (3):
Substituindo na equação (2):
Agora, da equação (1):
E como , temos
Então,

Passo 6

Agora, vamos resolver para :
Da equação (3):
Substituindo na equação (1):
Substituindo e na equação (2):
Então, e
Portanto,

Passo 7

Por fim, vamos resolver para :
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Agora, da equação (3):
E
Então,

Resposta

Uma base para é .

Exercícios relacionados

Sejam transformações Lineares. Sejam e bases de e , respectivamente. Mostre que
Determine e para que se tenha:
c)
Calcular .
Dadas as matrizes:
e
Calcular B-C.
Dadas as matrizes:
e