Determine o valor de a para que os sistemas a seguir sejam possíveis e determinados:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o valor de que faz com que o sistema de equações seja possível e determinado. Isso quer dizer que existe uma solução única para o sistema. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e determinantes de matrizes. Precisamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes e garantir que ele seja diferente de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema. As equações dadas são:
a x + y + 0 z = -2 2 x - y + z = a 4 x + y + a z = -5
Então, a matriz dos coeficientes é:
A = a & 1 & 0 2 & -1 & 1 4 & 1 & a
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = a cdot det -1 & 1 1 & a - 1 cdot det 2 & 1 4 & a + 0 cdot det 2 & -1 4 & 1 . O determinante de uma matriz pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de expansão. Vamos usar a expansão pelo primeiro elemento da primeira linha:
Passo 4
Vamos calcular cada um desses determinantes menores:
-1 & 1 1 & a
2 & 1 4 & a
2 & -1 4 & 1 (mas esse termo é multiplicado por 0, então não precisamos considerá-lo)
Passo 5
Substituindo esses valores no cálculo do determinante:
det(A) = a cdot (-a -1) - 1 cdot (2a -4) + 0 cdot 6 = -a^2 -a -2a +4
Simplificando:
det(A) = -a^2 -3a +4
Passo 6
Para que o sistema seja determinado, o determinante deve ser diferente de zero:
-a^2 -3a +4 neq 0
Podemos multiplicar toda a equação por -1 para facilitar:
a^2 +3a -4 neq 0
Passo 7
Agora, vamos resolver a equação quadrática a = -3 pm raiz9 +162 = -3 pm raiz252 = -3 pm52 para encontrar os valores de a = -3 +52 =1 e a = -3 -52 =-4 que tornam o determinante zero:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 8
Como queremos que o determinante seja diferente de zero, o valor de não pode ser igual a 1 nem a -4.
Resposta
O valor de deve ser qualquer número real exceto e para que o sistema seja possível e determinado.