Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule as componentes de um vector nesta base.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente tem uma base do , onde e . O objetivo é encontrar as componentes de um vetor qualquer nessa base usando uma matriz de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são lineares e que conseguem representar qualquer vetor do espaço através de combinações lineares. Aqui, é uma base de , ou seja, qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear de e .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a matriz de mudança de base. Para isso, montamos uma matriz cujas colunas são os vetores da base . Então, temos:
Passo 4
Essa matriz nos ajuda a mudar de coordenadas na base padrão para as coordenadas na base . Para encontrar as coordenadas do vetor na base , precisamos resolver a equação:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações:
Da segunda equação, já vemos que . Substituindo na primeira equação: