Seja B=v1, v2 a base de R^2 constituída pelos vectores
v1=(1,0) e v2=(1,1)
Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule as componentes de um vector (a, b) in R^2 nesta base.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente tem uma base do , onde e . O objetivo é encontrar as componentes de um vetor qualquer nessa base usando uma matriz de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são lineares e que conseguem representar qualquer vetor do espaço através de combinações lineares. Aqui, é uma base de , ou seja, qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear de e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a matriz de mudança de base. Para isso, montamos uma matriz cujas colunas são os vetores da base P = 1 & 1 0 & 1 . Então, temos:

Passo 4

Essa matriz P x y = a b nos ajuda a mudar de coordenadas na base padrão para as coordenadas na base . Para encontrar as coordenadas do vetor na base , precisamos resolver a equação:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações:
1 cdot x + 1 cdot y = a 0 cdot x + 1 cdot y = b
Da segunda equação, já vemos que x + b = a implies x = a - b . Substituindo na primeira equação:

Resposta

As componentes do vetor na base são .

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