Determine o maior conjunto que pode ser domínio das seguintes funções reais:
;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir qual é o maior conjunto de números reais que pode ser o domínio da função . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre domínios de funções logarítmicas e condições de existência de funções como a raiz quadrada e o logaritmo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função logarítmica ser válida, duas condições precisam ser satisfeitas:
  1. Base do logaritmo ( ) deve ser positiva e diferente de 1:
  2. Argumento do logaritmo ( ) deve ser positivo:
Na nossa função , a base é e o argumento é . Vamos aplicar as condições acima.

Passo 3

Condição 1: Base do logaritmo
Resolvendo:
Então, a base é válida para e .

Passo 4

Condição 2: Argumento do logaritmo
Sabemos que a raiz quadrada de um número é definida quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero:
Como a raiz quadrada sempre dá um resultado não negativo, a condição será verdadeira para . Mas já temos uma condição anterior que , que é mais restritiva.

Passo 5

Resumindo as condições encontradas:
  1. e
  2. (já incluído em )
Portanto, o maior conjunto que satisfaz todas essas condições é:

Resposta

O maior conjunto que pode ser domínio da função é:

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