Determine o maior conjunto
que pode ser domínio das seguintes funções reais:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir qual é o maior conjunto de números reais
que pode ser o domínio da função
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre domínios de funções logarítmicas e condições de existência de funções como a raiz quadrada e o logaritmo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função logarítmica
ser válida, duas condições precisam ser satisfeitas:
- Base do logaritmo (
) deve ser positiva e diferente de 1: - Argumento do logaritmo (
) deve ser positivo:
Na nossa função
, a base é
e o argumento é
. Vamos aplicar as condições acima.
Passo 3
Condição 1: Base do logaritmo
Resolvendo:
Então, a base é válida para
e
.
Passo 4
Condição 2: Argumento do logaritmo
Sabemos que a raiz quadrada de um número é definida quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero:
Como a raiz quadrada sempre dá um resultado não negativo, a condição
será verdadeira para
. Mas já temos uma condição anterior que
, que é mais restritiva.
Passo 5
Resumindo as condições encontradas:
-
e -
(já incluído em )
Portanto, o maior conjunto
que satisfaz todas essas condições é:
Resposta
O maior conjunto
que pode ser domínio da função é:
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