Determine o maior conjunto
que pode ser domínio das seguintes funções reais:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o maior conjunto de números reais, chamado de domínio, onde a função
está definida. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções com raízes quadradas e frações, garantindo que o que está dentro das raízes seja não negativo e que o denominador não seja zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador da função:
. Para que a raiz quadrada seja definida, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos:
Resolvendo isso:
Isso significa que
precisa ser pelo menos 3 para que o numerador seja válido.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador:
. Assim como no numerador, o conteúdo da raiz precisa ser não negativo:
Vamos resolver essa inequação. Primeiro, identificamos que
é um trinômio quadrado perfeito, pois pode ser escrito como:
Como qualquer número ao quadrado é sempre maior ou igual a zero, essa expressão é sempre válida para todos os reais. Porém, precisamos garantir que o denominador não seja zero, pois não podemos dividir por zero. Então, igualamos a expressão a zero:
Portanto,
não pode ser igual a 2.
Passo 4
Agora, juntando as informações dos passos anteriores:
-
para o numerador ser válido. -
para o denominador não ser zero.
Como
já exclui
(já que 2 é menor que 3), não precisamos nos preocupar com
nesse contexto. Portanto, a única condição que precisamos considerar é
.
Resposta
O maior conjunto
que pode ser domínio da função
é:
Exercícios relacionados
Determine o maior conjunto
que pode ser domínio das seguintes funções reais:
;
Determine o maior conjunto
que pode ser domínio das seguintes funções reais:
.
Determine o maior conjunto
que pode ser domínio das seguintes funções reais:
;
Determine o maior conjunto
que pode ser domínio das seguintes funções reais:
;