Determine o maior conjunto que pode ser domínio das seguintes funções reais:
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o maior conjunto de números reais, chamado de domínio, onde a função está definida. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções com raízes quadradas e frações, garantindo que o que está dentro das raízes seja não negativo e que o denominador não seja zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador da função: . Para que a raiz quadrada seja definida, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos:
Resolvendo isso:
Isso significa que precisa ser pelo menos 3 para que o numerador seja válido.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador: . Assim como no numerador, o conteúdo da raiz precisa ser não negativo:
Vamos resolver essa inequação. Primeiro, identificamos que é um trinômio quadrado perfeito, pois pode ser escrito como:
Como qualquer número ao quadrado é sempre maior ou igual a zero, essa expressão é sempre válida para todos os reais. Porém, precisamos garantir que o denominador não seja zero, pois não podemos dividir por zero. Então, igualamos a expressão a zero:
Portanto, não pode ser igual a 2.

Passo 4

Agora, juntando as informações dos passos anteriores:
  1. para o numerador ser válido.
  2. para o denominador não ser zero.
Como já exclui (já que 2 é menor que 3), não precisamos nos preocupar com nesse contexto. Portanto, a única condição que precisamos considerar é .

Resposta

O maior conjunto que pode ser domínio da função é:

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