Determine o maior conjunto no qual a função abaixo é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir qual é o maior conjunto onde a função
é contínua. A função está definida de duas formas: uma para quando
não é
e outra para quando é
. Vamos usar conceitos de continuidade e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa entender quando uma função é contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se o limite dela naquele ponto existe e é igual ao valor da função naquele ponto. Como a função
muda de definição em
, é nesse ponto que a continuidade pode estar em dúvida. Fora
, a função é uma razão de polinômios e, como o denominador
nunca é zero exceto em
, ela é contínua em todos os outros pontos.
Passo 3
Agora, vamos analisar a continuidade em
. Para isso, precisamos verificar se o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
, que é 0.
Passo 4
Vamos calcular o limite:
Para facilitar, podemos usar coordenadas polares, onde
e
. Assim, o limite fica:
Como
tende a 0 quando
tende a 0, o limite inteiro tende a 0, independente do valor de
.
Passo 5
Já que o limite de
em
é igual a
, a função é contínua nesse ponto. Portanto, a função
é contínua em todo o plano
.
Resposta
A função
é contínua para todos os pontos
no plano real, ou seja, em todo
.
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b) com condições iniciais
e
b)