Determine o maior conjunto no qual a função abaixo é contínua. f(x, y) = { x^2 y^3 / (2 x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir qual é o maior conjunto onde a função é contínua. A função está definida de duas formas: uma para quando não é e outra para quando é . Vamos usar conceitos de continuidade e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa entender quando uma função é contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se o limite dela naquele ponto existe e é igual ao valor da função naquele ponto. Como a função muda de definição em , é nesse ponto que a continuidade pode estar em dúvida. Fora , a função é uma razão de polinômios e, como o denominador nunca é zero exceto em , ela é contínua em todos os outros pontos.

Passo 3

Agora, vamos analisar a continuidade em . Para isso, precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de é igual a , que é 0.

Passo 4

Vamos calcular o limite:
Para facilitar, podemos usar coordenadas polares, onde e . Assim, o limite fica:
Como tende a 0 quando tende a 0, o limite inteiro tende a 0, independente do valor de .

Passo 5

Já que o limite de em é igual a , a função é contínua nesse ponto. Portanto, a função é contínua em todo o plano .

Resposta

A função é contínua para todos os pontos no plano real, ou seja, em todo .

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