Passo 1
Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites em cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender o comportamento das funções seno e exponencial próximas de zero, além de aplicar propriedades de limites e, possivelmente, a Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando
se aproxima de 0.
- Numerador:
- Denominador:
Quando
tende a 0:
- se aproxima de .
-
pode ser reescrito como . À medida que se aproxima de 0, também se aproxima de 0, então . Portanto, se aproxima de 0.
Ambos o numerador e o denominador tendem a 0, o que nos dá uma forma indeterminada do tipo
. Nesse caso, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite diferenciar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 3
Aplicando a Regra de L’Hôpital, vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador em relação a
:
-
Derivada do numerador:
-
Derivada do denominador:Para derivar
, usamos a seguinte técnica: Portanto, a derivada do denominador fica:
Passo 4
Agora, substituímos as derivadas no limite após aplicar a Regra de L’Hôpital:
Vamos analisar os componentes dessa expressão:
-
se aproxima de . -
se aproxima de 1, pois quando tende a 0. -
também se aproxima de . -
tende a quando tende a 0 pelo lado positivo.
Então, o denominador tende a
. O numerador tende a
.
Passo 5
Com isso, o limite se torna:
Portanto, o valor do limite é 0.
Resposta
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