lim x 0 sen(10 x)e^x x-1

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites em cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender o comportamento das funções seno e exponencial próximas de zero, além de aplicar propriedades de limites e, possivelmente, a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando se aproxima de 0.
  • Numerador:
  • Denominador:
Quando tende a 0:
  • se aproxima de .
  • pode ser reescrito como . À medida que se aproxima de 0, também se aproxima de 0, então . Portanto, se aproxima de 0.
Ambos o numerador e o denominador tendem a 0, o que nos dá uma forma indeterminada do tipo . Nesse caso, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite diferenciar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hôpital, vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador em relação a ddx sen(10x) = 10 cos(10x) :
  • Derivada do numerador:
  • Derivada do denominador:
    ddx ( e^x^x - 1 ) = e^x^x cdot ddx(x^x)
    Para derivar x^x = e^x ln x implies ddxx^x = e^x ln x cdot (ln x + 1) = x^x (ln x + 1) , usamos a seguinte técnica:
    e^x^x cdot x^x (ln x + 1) = x^x e^x^x (ln x + 1)
    Portanto, a derivada do denominador fica:

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas no limite após aplicar a Regra de L’Hôpital:
limx 0 10 cos(10x)x^x e^x^x (ln x + 1)
Vamos analisar os componentes dessa expressão:
  • se aproxima de .
  • se aproxima de 1, pois quando tende a 0.
  • também se aproxima de .
  • tende a quando tende a 0 pelo lado positivo.
Então, o denominador tende a . O numerador tende a .

Passo 5

Com isso, o limite se torna:
limx 0 10-infty = 0
Portanto, o valor do limite é 0.

Resposta

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