lim x 0 e^4 x-1x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Aqui, estamos lidando com limites e funções exponenciais, então vamos precisar lembrar das propriedades das exponenciais e das técnicas de cálculo de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função exponencial . Sabemos que , então quando se aproxima de 0, se aproxima de 1. A expressão no numerador também se aproxima de 0, assim como o denominador . Isso significa que temos uma forma indeterminada do tipo , e precisamos usar uma técnica para resolver isso.

Passo 3

Uma maneira prática de resolver esse tipo de limite é usar a regra de L’Hôpital, que nos diz que se temos um limite da forma ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e depois calcular o limite novamente.

Passo 4

Vamos aplicar a regra de L’Hôpital. Primeiro, derivamos o numerador e o denominador:
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
  • A derivada de em relação a é 1.

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas no lugar original:
limx 0 4e^4x1
Isso simplifica para:
4e^4x

Passo 6

Finalmente, avaliamos o limite quando 4e^0 = 4 times 1 = 4 se aproxima de 0:

Resposta

O limite é igual a 4.

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