Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. Aqui, estamos lidando com limites e funções exponenciais, então vamos precisar lembrar das propriedades das exponenciais e das técnicas de cálculo de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função exponencial
. Sabemos que
, então quando
se aproxima de 0,
se aproxima de 1. A expressão no numerador
também se aproxima de 0, assim como o denominador
. Isso significa que temos uma forma indeterminada do tipo
, e precisamos usar uma técnica para resolver isso.
Passo 3
Uma maneira prática de resolver esse tipo de limite é usar a regra de L’Hôpital, que nos diz que se temos um limite da forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e depois calcular o limite novamente.
Passo 4
Vamos aplicar a regra de L’Hôpital. Primeiro, derivamos o numerador e o denominador:
- A derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia). - A derivada de
em relação a é 1.
Passo 5
Agora, substituímos as derivadas no lugar original:
Isso simplifica para:
Passo 6
Finalmente, avaliamos o limite quando
se aproxima de 0:
Resposta
O limite é igual a 4.
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Determine o maior conjunto no qual a função abaixo é contínua.