Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função que é definida de duas maneiras diferentes:
  • Para qualquer ponto que não seja , a função é .
  • No ponto , a função vale .
O objetivo é descobrir onde essa função é contínua. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e limites de funções em várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:

Passo 3

Vamos verificar a continuidade da função em todos os pontos, exceto possivelmente em , já que a definição da função muda nesse ponto.
Para qualquer , a função é uma fração onde o denominador nunca é zero (a menos que ), portanto, a função é contínua nesses pontos.

Passo 4

Agora, o ponto crítico �� . Precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto. Para isso, calculamos o limite de quando se aproxima de e comparamos com o valor da função nesse ponto.
Calculando o limite:
Vamos considerar caminhos diferentes para se aproximar de :
  1. Caminho :
Então, o limite pelo caminho é .
  1. Caminho :
Então, o limite pelo caminho é .
Como os limites ao se aproximar de por caminhos diferentes resultam em valores diferentes ( e ), isso significa que o limite geral não existe.

Passo 5

Como o limite de quando se aproxima de não existe, a função não é contínua nesse ponto. No entanto, fora desse ponto, já vimos que a função é contínua.

Resposta

O maior conjunto no qual a função é contínua é todos os pontos do plano real, exceto o ponto . Em notação matemática, isso pode ser escrito como:

Exercícios relacionados

Suponha e . Encontre
(d)
Calcule o valor dos limites usando as propriedades do limite.
(e)
Para cada função calcule o valor dos limites indicados, se existirem.
(b) e
Calcule os limites no infinito.
(a)