Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
que é definida de duas maneiras diferentes:
- Para qualquer ponto
que não seja , a função é . - No ponto
, a função vale .
O objetivo é descobrir onde essa função é contínua. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e limites de funções em várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Passo 3
Vamos verificar a continuidade da função
em todos os pontos, exceto possivelmente em
, já que a definição da função muda nesse ponto.
Para qualquer
, a função é uma fração onde o denominador
nunca é zero (a menos que
), portanto, a função é contínua nesses pontos.
Passo 4
Agora, o ponto crítico ��
. Precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto. Para isso, calculamos o limite de
quando
se aproxima de
e comparamos com o valor da função nesse ponto.
Calculando o limite:
Vamos considerar caminhos diferentes para se aproximar de
:
- Caminho
:
Então, o limite pelo caminho
é
.
- Caminho
:
Então, o limite pelo caminho
é
.
Como os limites ao se aproximar de
por caminhos diferentes resultam em valores diferentes (
e
), isso significa que o limite geral não existe.
Passo 5
Como o limite de
quando
se aproxima de
não existe, a função
não é contínua nesse ponto. No entanto, fora desse ponto, já vimos que a função é contínua.
Resposta
O maior conjunto no qual a função
é contínua é todos os pontos
do plano real, exceto o ponto
. Em notação matemática, isso pode ser escrito como:
Exercícios relacionados
Suponha
e
. Encontre
(d)
(d)
Calcule o valor dos limites usando as propriedades do limite.
(e)
(e)
Para cada função
calcule o valor dos limites indicados, se existirem.
(b) e
(b) e
Calcule os limites no infinito.
(a)
(a)