Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
f(x, y) = { xy / (x^2 + xy + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 1 se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para descobrir qual é o maior conjunto onde a função é contínua. A função que temos é definida de duas maneiras diferentes: uma quando não é e outra quando . Vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como verificar isso em diferentes pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando :
Essa é uma razão de polinômios. No mundo da matemática, uma função como essa é contínua em todos os pontos onde o denominador não é zero. Então, precisamos descobrir onde é igual a zero.

Passo 3

Vamos resolver a equação . Essa é uma equação quadrática em duas variáveis. Observando os termos, vemos que:
Ambos os termos e são sempre não negativos e só somam zero quando e . Isso só acontece quando e .

Passo 4

Então, o denominador é zero apenas no ponto . Isso significa que a função é contínua em todos os pontos diferentes de , porque o denominador não é zero nesses pontos.

Passo 5

Agora, vamos verificar a continuidade no ponto . Para isso, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e ver se esse limite é igual ao valor da função em , que é 1.
Vamos usar coordenadas polares para facilitar:
Substituindo na função:
Agora, quando tende a 0, o limite dependerá de . Por exemplo:
  • Se , o limite é 0.
  • Se , o limite é .
Como o limite varia dependendo do caminho que escolhemos para chegar a , isso significa que o limite não é único. Portanto, o limite de quando se aproxima de não existe ou não é igual a 1.

Resposta

O maior conjunto no qual a função é contínua é todo o plano exceto o ponto .

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