Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para descobrir qual é o maior conjunto onde a função
é contínua. A função que temos é definida de duas maneiras diferentes: uma quando
não é
e outra quando
. Vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como verificar isso em diferentes pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando
:
Essa é uma razão de polinômios. No mundo da matemática, uma função como essa é contínua em todos os pontos onde o denominador não é zero. Então, precisamos descobrir onde
é igual a zero.
Passo 3
Vamos resolver a equação
. Essa é uma equação quadrática em duas variáveis. Observando os termos, vemos que:
Ambos os termos
e
são sempre não negativos e só somam zero quando
e
. Isso só acontece quando
e
.
Passo 4
Então, o denominador
é zero apenas no ponto
. Isso significa que a função
é contínua em todos os pontos
diferentes de
, porque o denominador não é zero nesses pontos.
Passo 5
Agora, vamos verificar a continuidade no ponto
. Para isso, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual ao valor da função em
, que é 1.
Vamos usar coordenadas polares para facilitar:
Substituindo na função:
Agora, quando
tende a 0, o limite dependerá de
. Por exemplo:
- Se
, o limite é 0. - Se
, o limite é .
Como o limite varia dependendo do caminho que escolhemos para chegar a
, isso significa que o limite não é único. Portanto, o limite de
quando
se aproxima de
não existe ou não é igual a 1.
Resposta
O maior conjunto no qual a função
é contínua é todo o plano
exceto o ponto
.