Determine o maior conjunto onde
é continua
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descobrir onde a função
é contínua. A função está definida de duas formas:
Vamos precisar entender o que é continuidade e como aplicar isso para cada parte da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em
se:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite é igual ao valor da função em
.
Vamos analisar a continuidade em dois lugares: quando
e quando
.
Passo 3
Para
, a função é dada por
. Aqui,
é a magnitude de
e
pega a parte real de
.
Como
e
são funções contínuas para todo
, o produto deles também será contínuo nesse domínio. Portanto, a função
é contínua para todo
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade em
. Precisamos checar se:
Vamos calcular o limite de
quando
tende a 0.
Passo 5
Para simplificar, vamos escrever
na forma polar:
, onde
e
é o argumento de
.
Então,
, e a parte real disso é
.
Substituindo na função:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende a 0. Note que
está sempre limitado entre -1 e 1, então:
Como
tende a 0 quando
tende a 0, pelo teorema do sanduíche, o limite de
também é 0.
Passo 7
Como o limite de
quando
tende a 0 é igual a
, a função é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua para todo
no conjunto dos números complexos, ou seja,
é contínua em
.
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.
(g)
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(d)
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