Determine o maior conjunto onde f(z) é continua
(b) f(z) = { |z|^3 * Re(1/z), se z ≠ 0; 0, se z = 0 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descobrir onde a função é contínua. A função está definida de duas formas:
Vamos precisar entender o que é continuidade e como aplicar isso para cada parte da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite é igual ao valor da função em .
Vamos analisar a continuidade em dois lugares: quando e quando .

Passo 3

Para , a função é dada por . Aqui, é a magnitude de e pega a parte real de .
Como e são funções contínuas para todo , o produto deles também será contínuo nesse domínio. Portanto, a função é contínua para todo .

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade em . Precisamos checar se:
Vamos calcular o limite de quando tende a 0.

Passo 5

Para simplificar, vamos escrever na forma polar: , onde e é o argumento de .
Então, , e a parte real disso é .
Substituindo na função:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite de quando tende a 0. Note que está sempre limitado entre -1 e 1, então:
Como tende a 0 quando tende a 0, pelo teorema do sanduíche, o limite de também é 0.

Passo 7

Como o limite de quando tende a 0 é igual a , a função é contínua em .

Resposta

A função é contínua para todo no conjunto dos números complexos, ou seja, é contínua em .

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