Encontre o maior conjunto onde a função f(z) é derivável
(d) f(z) = x^3 + i y^3

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o maior conjunto onde a função é derivável. Esse problema está dentro da matéria de Análise Complexa, especificamente envolvendo as condições de diferenciabilidade de funções de variável complexa. Para resolver, vamos precisar aplicar as Equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais para determinar onde uma função complexa é derivável.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes real e imaginária da função . Podemos escrever como:
onde:
Aqui, é a parte real e é a parte imaginária da função.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar as Equações de Cauchy-Riemann. Precisamos encontrar , , e .
Calculando:

Passo 4

As Equações de Cauchy-Riemann nos dizem que, para ser derivável em um ponto, devem ser satisfeitas:
Vamos substituir as derivadas que calculamos:
A segunda equação é sempre verdadeira, então o que realmente precisamos é que .

Passo 5

Simplificando a primeira equação:
Isso significa que:
Portanto, a função é derivável nos pontos onde ou .

Resposta

O maior conjunto onde a função é derivável é formado pelas retas e no plano complexo.

Exercícios relacionados

Calcule a derivada f'(x) das seguintes funções: f(x) = -4 x
Determine o maior conjunto onde f(z) é continua
(b) f(z) = { |z|^3 * Re(1/z), se z ≠ 0; 0, se z = 0 }
Use fórmulas de inversão da transformada de Laplace de funções básicas para calcular a transformada inversa L^{-1}{f(t)}.
(l) L^-1{1/((s^2+1)(s^2+4))}
Verifique qual das seguintes funções é harmônica e caso afirmativo, encontre o conjugado harmônico.
(b) v(x, y) = 2*x - x^3 + 3*x*y^2