Encontre o maior conjunto onde a função
é derivável
(d)
(d)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o maior conjunto onde a função
é derivável. Esse problema está dentro da matéria de Análise Complexa, especificamente envolvendo as condições de diferenciabilidade de funções de variável complexa. Para resolver, vamos precisar aplicar as Equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais para determinar onde uma função complexa é derivável.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes real e imaginária da função
. Podemos escrever
como:
onde:
Aqui,
é a parte real e
é a parte imaginária da função.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar as Equações de Cauchy-Riemann. Precisamos encontrar
,
,
e
.
Calculando:
Passo 4
As Equações de Cauchy-Riemann nos dizem que, para
ser derivável em um ponto, devem ser satisfeitas:
Vamos substituir as derivadas que calculamos:
A segunda equação
é sempre verdadeira, então o que realmente precisamos é que
.
Passo 5
Simplificando a primeira equação:
Isso significa que:
Portanto, a função
é derivável nos pontos onde
ou
.
Resposta
O maior conjunto onde a função
é derivável é formado pelas retas
e
no plano complexo.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada
das seguintes funções:
Determine o maior conjunto onde
é continua
(b)
(b)
Use fórmulas de inversão da transformada de Laplace de funções básicas para calcular a transformada inversa
.
(l)
(l)
Verifique qual das seguintes funções é harmônica e caso afirmativo, encontre o conjugado harmônico.
(b)
(b)