Encontre o maior conjunto onde a função f(z) é derivável
(d) f(z) = x^3 + i y^3

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o maior conjunto onde a função é derivável. Esse problema está dentro da matéria de Análise Complexa, especificamente envolvendo as condições de diferenciabilidade de funções de variável complexa. Para resolver, vamos precisar aplicar as Equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais para determinar onde uma função complexa é derivável.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes real e imaginária da função . Podemos escrever como:
onde:
Aqui, é a parte real e é a parte imaginária da função.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar as Equações de Cauchy-Riemann. Precisamos encontrar , , e .
Calculando:

Passo 4

As Equações de Cauchy-Riemann nos dizem que, para ser derivável em um ponto, devem ser satisfeitas:
Vamos substituir as derivadas que calculamos:
A segunda equação é sempre verdadeira, então o que realmente precisamos é que .

Passo 5

Simplificando a primeira equação:
Isso significa que:
Portanto, a função é derivável nos pontos onde ou .

Resposta

O maior conjunto onde a função é derivável é formado pelas retas e no plano complexo.

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