Beleza, então a gente tem que descobrir onde a função é contínua. A função dada é:
A matéria aqui é continuidade de funções complexas. Vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e verificar onde isso acontece para .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Em termos simples, uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando se aproxima desse ponto existe e é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, para ser contínua em :
Passo 3
Vamos analisar a função em todos os pontos menos . Quando , a função é dada por . Tanto o numerador quanto o denominador são funções contínuas (soma e divisão de funções contínuas, exceto onde o denominador é zero). Como , o denominador nunca é zero aqui, então é contínua para todos os diferentes de .
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade em . Precisamos ver se:
Sabemos que . Vamos calcular o limite:
Passo 5
Para encontrar esse limite, vamos considerar se aproximando de de diferentes maneiras. Seja , onde tende a 0. Então:
Substituindo na expressão da função:
Dependendo de como se aproxima de 0, esse limite pode ser diferente. Por exemplo:
Se é real, , então o limite é 1.
Se é imaginário puro, , então o limite é -1.
Como o limite depende da direção pela qual se aproxima de , ele não existe de forma única. Portanto, não é contínua em .
Resposta
A função é contínua em todo o conjunto dos números complexos, exceto no ponto .