Determine o maior conjunto onde f(z) é continua
(a) f(z) = { (bar(z) - i) / (z + i), se z ≠ -i; 0, se z = -i }

Passo 1

Beleza, então a gente tem que descobrir onde a função é contínua. A função dada é:
A matéria aqui é continuidade de funções complexas. Vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e verificar onde isso acontece para .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Em termos simples, uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando se aproxima desse ponto existe e é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, para ser contínua em :

Passo 3

Vamos analisar a função em todos os pontos menos . Quando , a função é dada por . Tanto o numerador quanto o denominador são funções contínuas (soma e divisão de funções contínuas, exceto onde o denominador é zero). Como , o denominador nunca é zero aqui, então é contínua para todos os diferentes de .

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade em . Precisamos ver se:
Sabemos que . Vamos calcular o limite:

Passo 5

Para encontrar esse limite, vamos considerar se aproximando de de diferentes maneiras. Seja , onde tende a 0. Então:
Substituindo na expressão da função:
Dependendo de como se aproxima de 0, esse limite pode ser diferente. Por exemplo:
  • Se é real, , então o limite é 1.
  • Se é imaginário puro, , então o limite é -1.
Como o limite depende da direção pela qual se aproxima de , ele não existe de forma única. Portanto, não é contínua em .

Resposta

A função é contínua em todo o conjunto dos números complexos, exceto no ponto .

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