Encontre o maior conjunto onde a função f(z) é derivável
(a) f(z) = z * Re(z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o maior conjunto onde a função é derivável. Isso envolve conceitos de funções de variável complexa, especificamente a diferenciabilidade de funções complexas. Para resolver, vamos usar as equações de Cauchy-Riemann, que nos ajudam a determinar se uma função é holomorfa (ou seja, diferenciável) em algum conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função em termos das partes real e imaginária de . Vamos considerar , onde e são números reais. A parte real de é . Então, a função fica:
Aqui, identificamos a parte real e a parte imaginária .

Passo 3

Agora, vamos aplicar as equações de Cauchy-Riemann, que dizem que para uma função ser diferenciável em um ponto, as seguintes condições devem ser satisfeitas:
Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 4

Substituindo nas equações de Cauchy-Riemann:
A primeira equação implica que . A segunda equação implica que .

Passo 5

Portanto, as equações de Cauchy-Riemann só são satisfeitas quando e , ou seja, no ponto . Isso significa que a função é derivável apenas no ponto .

Resposta

O maior conjunto onde a função é derivável é o ponto .

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