Encontre o maior conjunto onde a função
é derivável
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o maior conjunto onde a função
é derivável. Isso envolve conceitos de funções de variável complexa, especificamente a diferenciabilidade de funções complexas. Para resolver, vamos usar as equações de Cauchy-Riemann, que nos ajudam a determinar se uma função é holomorfa (ou seja, diferenciável) em algum conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função
em termos das partes real e imaginária de
. Vamos considerar
, onde
e
são números reais. A parte real de
é
. Então, a função fica:
Aqui, identificamos a parte real
e a parte imaginária
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar as equações de Cauchy-Riemann, que dizem que para uma função
ser diferenciável em um ponto, as seguintes condições devem ser satisfeitas:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Substituindo nas equações de Cauchy-Riemann:
A primeira equação
implica que
. A segunda equação
implica que
.
Passo 5
Portanto, as equações de Cauchy-Riemann só são satisfeitas quando
e
, ou seja, no ponto
. Isso significa que a função
é derivável apenas no ponto
.
Resposta
O maior conjunto onde a função
é derivável é o ponto
.
Exercícios relacionados
Use propriedades de translação e derivadas de transformadas para calcular
ou
como indicado.
©
©
Determine o maior conjunto onde
é continua
(a)
(a)
Use propriedades de translação e derivadas de transformadas para calcular
ou
como indicado.
(b)
(b)
Encontre o maior conjunto onde a função
é derivável
(b)
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