Encontre o maior conjunto onde a função
é derivável
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o maior conjunto onde a função
é derivável. Isso envolve conceitos de análise complexa, especificamente sobre onde uma função de uma variável complexa é diferenciável, ou seja, onde ela é holomórfica. Para resolver isso, vamos precisar usar as Equações de Cauchy-Riemann, que são condições necessárias para que uma função seja diferenciável no contexto complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de forma que fique mais fácil de trabalhar. Sabemos que
, onde
e
são números reais. Então, podemos expressar
da seguinte maneira:
Aplicando a fórmula de Euler, que diz que
, podemos reescrever
como
. Assim:
Aqui, identificamos as partes real e imaginária de
:
Passo 3
Agora, para que
seja diferenciável, as Equações de Cauchy-Riemann devem ser satisfeitas. Essas equações são:
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Primeiro,
:
Segundo,
:
Terceiro,
:
Quarto,
:
Passo 4
Agora, vamos aplicar as Equações de Cauchy-Riemann:
-
:
Podemos simplificar isso para:
Como
nunca é zero para qualquer real
, isso implica que:
-
:
Simplificando:
Novamente, como
, temos:
Passo 5
Então, para que ambas as equações sejam verdadeiras simultaneamente, precisamos que:
Mas isso é impossível, porque não existe nenhum
real que satisfaça as duas condições ao mesmo tempo. Se
, então
para algum inteiro
, e
seria
, não zero. Por outro lado, se
, então
, e
seria
, não zero.
Resposta
A função
não é derivável em nenhum ponto do plano complexo. Ou seja, o maior conjunto onde
é derivável é o conjunto vazio.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada
das seguintes funções:
Calcule os seguintes limites, caso existirem
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Encontre o maior conjunto onde a função
é derivável
(e)
(e)
Determine o maior conjunto onde
é continua
(a)
(a)