Encontre o maior conjunto onde a função f(z) é derivável
© f(z) = e^x * e^(-i y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o maior conjunto onde a função é derivável. Isso envolve conceitos de análise complexa, especificamente sobre onde uma função de uma variável complexa é diferenciável, ou seja, onde ela é holomórfica. Para resolver isso, vamos precisar usar as Equações de Cauchy-Riemann, que são condições necessárias para que uma função seja diferenciável no contexto complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de forma que fique mais fácil de trabalhar. Sabemos que , onde e são números reais. Então, podemos expressar da seguinte maneira:
Aplicando a fórmula de Euler, que diz que , podemos reescrever como . Assim:
Aqui, identificamos as partes real e imaginária de :

Passo 3

Agora, para que seja diferenciável, as Equações de Cauchy-Riemann devem ser satisfeitas. Essas equações são:
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Primeiro, :
Segundo, :
Terceiro, :
Quarto, :

Passo 4

Agora, vamos aplicar as Equações de Cauchy-Riemann:
  1. :
Podemos simplificar isso para:
Como nunca é zero para qualquer real , isso implica que:
  1. :
Simplificando:
Novamente, como , temos:

Passo 5

Então, para que ambas as equações sejam verdadeiras simultaneamente, precisamos que:
Mas isso é impossível, porque não existe nenhum real que satisfaça as duas condições ao mesmo tempo. Se , então para algum inteiro , e seria , não zero. Por outro lado, se , então , e seria , não zero.

Resposta

A função não é derivável em nenhum ponto do plano complexo. Ou seja, o maior conjunto onde é derivável é o conjunto vazio.

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