Encontre o maior conjunto onde a função
é derivável
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o maior conjunto onde a função
é derivável. A função dada é:
Aqui,
está representado em coordenadas polares, onde
. Para descobrir onde essa função é derivável, vamos precisar usar as Equações de Cauchy-Riemann, que nos ajudam a verificar se uma função complexa é diferenciável em um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a função
em termos das partes
e
, onde:
Então, identificamos:
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
. As Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares são:
Vamos calcular essas derivadas.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular
:
Agora,
:
Segundo Equação de Cauchy-Riemann:
Ambos os lados são iguais, então a primeira equação de Cauchy-Riemann é satisfeita.
Passo 5
Agora, vamos verificar a segunda Equação de Cauchy-Riemann. Calculamos
:
E
:
Segundo Equação de Cauchy-Riemann:
Aqui, vemos que a igualdade só é verdadeira se
, mas essa não é uma condição geral. Portanto, a segunda Equação de Cauchy-Riemann não é satisfeita a menos que
, o que ocorre para valores específicos de
.
Resposta
A função
é derivável apenas onde
, ou seja, para valores de
tais que
, onde
é um inteiro. Portanto, o maior conjunto onde
é derivável é: