Encontre o maior conjunto onde a função é derivável
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o maior conjunto onde a função é derivável. A função dada é:
Aqui, está representado em coordenadas polares, onde . Para descobrir onde essa função é derivável, vamos precisar usar as Equações de Cauchy-Riemann, que nos ajudam a verificar se uma função complexa é diferenciável em um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a função em termos das partes e , onde:
Então, identificamos:
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de e em relação a e . As Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares são:
Vamos calcular essas derivadas.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular :
Agora, :
Segundo Equação de Cauchy-Riemann:
Ambos os lados são iguais, então a primeira equação de Cauchy-Riemann é satisfeita.
Passo 5
Agora, vamos verificar a segunda Equação de Cauchy-Riemann. Calculamos :
E :
Segundo Equação de Cauchy-Riemann:
Aqui, vemos que a igualdade só é verdadeira se , mas essa não é uma condição geral. Portanto, a segunda Equação de Cauchy-Riemann não é satisfeita a menos que , o que ocorre para valores específicos de .
Resposta
A função é derivável apenas onde , ou seja, para valores de tais que , onde é um inteiro. Portanto, o maior conjunto onde é derivável é: