Encontre o maior conjunto onde a função f(z) é derivável
(e) f(z) = e^(-theta) * cos(ln(r)) + i * e^(-theta) * sen(ln(r))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o maior conjunto onde a função é derivável. A função dada é:
Aqui, está representado em coordenadas polares, onde . Para descobrir onde essa função é derivável, vamos precisar usar as Equações de Cauchy-Riemann, que nos ajudam a verificar se uma função complexa é diferenciável em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a função em termos das partes e , onde:
Então, identificamos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de e em relação a e . As Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares são:
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular :
Agora, :
Segundo Equação de Cauchy-Riemann:
Ambos os lados são iguais, então a primeira equação de Cauchy-Riemann é satisfeita.

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda Equação de Cauchy-Riemann. Calculamos :
E :
Segundo Equação de Cauchy-Riemann:
Aqui, vemos que a igualdade só é verdadeira se , mas essa não é uma condição geral. Portanto, a segunda Equação de Cauchy-Riemann não é satisfeita a menos que , o que ocorre para valores específicos de .

Resposta

A função é derivável apenas onde , ou seja, para valores de tais que , onde é um inteiro. Portanto, o maior conjunto onde é derivável é:

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