Nos itens abaixo, encontre uma equação para a curva de nível da função
que passa pelo ponto dado:
(a)
, no ponto
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da curva de nível da função
que passa pelo ponto
. Aqui, estamos trabalhando com funções de duas variáveis e curva de nível, que são aquelas linhas onde a função assume um valor constante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível para a função
é o conjunto de pontos
que satisfazem
, onde
é uma constante. Nosso objetivo é encontrar essa constante
tal que a curva passe pelo ponto dado.
Passo 3
Para encontrar
, vamos substituir as coordenadas do ponto
na função
:
Passo 4
Calculando os quadrados:
Então:
Portanto,
.
Passo 5
Com o valor de
encontrado, a equação da curva de nível é:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação para deixá-la mais clara:
Multiplicando todos os termos por -1:
Resposta
A equação da curva de nível é
.
Exercícios relacionados
Seja
onde a região
de integração está situada no 1o. quadrante, acima da parábola de equação
e abaixo da parábola de equação
. Esboce a região R e escreva a integral dupla como integral iterada, nas duas possíveis ordens de integração.
A região limitada pela curva
e pela reta
é girada em torno do eixo
para gerar um sólido. Determine o volume do sólido.
Nos exercícios abaixo, responda qual das derivadas mistas de segunda ordem se pode calcular de maneira mais rápida:
ou
? Tente responder a esta questão antes de calcular as derivadas.
(b)
(b)
Determine o maior conjunto onde a função abaixo é diferenciável: