Nos itens abaixo, encontre uma equação para a curva de nível da função f que passa pelo ponto dado:
(a) f(x, y) = 16 - x^2 - y^2, no ponto (2 raiz(2), raiz(2)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da curva de nível da função que passa pelo ponto . Aqui, estamos trabalhando com funções de duas variáveis e curva de nível, que são aquelas linhas onde a função assume um valor constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível para a função é o conjunto de pontos que satisfazem , onde é uma constante. Nosso objetivo é encontrar essa constante tal que a curva passe pelo ponto dado.

Passo 3

Para encontrar , vamos substituir as coordenadas do ponto na função :

Passo 4

Calculando os quadrados:
Então:
Portanto, .

Passo 5

Com o valor de encontrado, a equação da curva de nível é:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação para deixá-la mais clara:
Multiplicando todos os termos por -1:

Resposta

A equação da curva de nível é .

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