Nos exercícios abaixo, responda qual das derivadas mistas de segunda ordem se pode calcular de maneira mais rápida:
ou
? Tente responder a esta questão antes de calcular as derivadas.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a pergunta está pedindo. A gente tem uma função
e a gente precisa descobrir qual das derivadas mistas de segunda ordem é mais fácil de calcular:
ou
. Primeiro, vamos entender o que são essas derivadas e o que precisamos para calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma derivada mista de segunda ordem significa que a gente vai derivar duas vezes, mas primeiro em relação a uma variável e depois na outra. Por exemplo,
significa que a gente primeiro deriva em relação a
e depois em relação a
. Já
é o contrário: primeiro em
e depois em
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Podemos simplificar a expressão usando as propriedades dos logaritmos:
Isso vai facilitar na hora de derivar, pois temos duas partes separadas.
Passo 4
Vamos calcular
primeiro. Primeiro, derivamos
em relação a
:
Agora, derivamos
em rela��ão a
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Primeiro, derivamos
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 6
Observamos que ambas as derivadas mistas dão o mesmo resultado,
. Isso está de acordo com o Teorema de Clairaut, que diz que se a função for suficientemente suave, as derivadas mistas são iguais.
Resposta
Ambas as derivadas mistas
e
resultam em
, mas calcular
é um pouco mais direto nesse caso. Portanto,
pode ser calculado de maneira mais rápida.