Nos exercícios abaixo, responda qual das derivadas mistas de segunda ordem se pode calcular de maneira mais rápida: fxy ou f_yx ? Tente responder a esta questão antes de calcular as derivadas.
(b) f(x, y) = x ln(x) y

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a pergunta está pedindo. A gente tem uma função e a gente precisa descobrir qual das derivadas mistas de segunda ordem é mais fácil de calcular: ou . Primeiro, vamos entender o que são essas derivadas e o que precisamos para calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma derivada mista de segunda ordem significa que a gente vai derivar duas vezes, mas primeiro em relação a uma variável e depois na outra. Por exemplo, significa que a gente primeiro deriva em relação a e depois em relação a . Já é o contrário: primeiro em e depois em .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Podemos simplificar a expressão usando as propriedades dos logaritmos:
Isso vai facilitar na hora de derivar, pois temos duas partes separadas.

Passo 4

Vamos calcular primeiro. Primeiro, derivamos em relação a :
Agora, derivamos em rela��ão a :

Passo 5

Agora, vamos calcular . Primeiro, derivamos em relação a :
Agora, derivamos em relação a :

Passo 6

Observamos que ambas as derivadas mistas dão o mesmo resultado, . Isso está de acordo com o Teorema de Clairaut, que diz que se a função for suficientemente suave, as derivadas mistas são iguais.

Resposta

Ambas as derivadas mistas e resultam em , mas calcular é um pouco mais direto nesse caso. Portanto, pode ser calculado de maneira mais rápida.

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