Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o maior intervalo onde o problema de valor inicial dado tem uma única solução que é duas vezes diferenciável. Isso envolve a matéria de equações diferenciais, especificamente equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Para resolver, vamos analisar a equação e verificar onde os coeficientes são contínuos, garantindo assim a existência e unicidade da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Nosso objetivo é colocar essa equação na forma padrão para facilitar a análise. A forma padrão de uma equação diferencial de segunda ordem é:
Passo 3
Para isso, vamos dividir toda a equação por (desde que ):
Agora, identificamos os coeficientes:
Passo 4
Para garantir que a solução exista e seja única, os coeficientes , e precisam ser contínuos no intervalo considerado. Isso acontece quando o denominador não é zero, ou seja, quando e .
Passo 5
Como o problema de valor inicial está sendo dado em , devemos escolher o maior intervalo que contenha e que não inclua os pontos onde . Os valores problemáticos são e .
Passo 6
Então, o maior intervalo que inclui e exclui e é:
Resposta
O maior intervalo onde o problema de valor inicial tem uma única solução duas vezes diferenciável é .