Uma massa de 100 g estica uma mola 10 cm. A massa está presa a um amortecedor viscoso. Suponha que a aceleração da gravidade seja de .
(b) Suponha que o amortecedor exerce uma força de quando a velocidade é de . Se a massa é puxada para baixo 2 cm e depois é solta, determine a posição em função do tempo . Qual o valor do quase período?
Passo 1
Vamos resolver essa questão de física sobre movimento harmônico amortecido. O problema envolve uma mola, um amortecedor viscoso e uma massa. Precisamos encontrar a posição da massa em função do tempo após ela ser puxada para baixo e solta, além de determinar o quase período desse movimento. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica e equações diferenciais que descrevem sistemas massa-mola-amortecedor.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados fornecidos:
Massa (convertendo para kg para facilitar os cálculos)
Alongamento da mola
Aceleração da gravidade (convertendo para m/s²)
Força do amortecedor (convertendo para N)
Velocidade associada ao amortecedor
Deslocamento inicial
Passo 3
Vamos determinar a constante elástica da mola, . Sabemos que a força exercida pela mola em equilíbrio é igual ao peso da massa:
Isolando :
Passo 4
Agora, vamos encontrar o coeficiente de amortecimento . A força do amortecedor é dada por:
Isolando :
Passo 5
A equação diferencial que descreve o movimento da massa é:
Substituindo os valores que encontramos:
Podemos simplificar dividindo toda a equação por 0,1:
Passo 6
Essa equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral é da forma:
Substituindo na equação:
Resolvendo a equação quadrática para :
Isso nos dá duas soluções reais:
Passo 7
Como as raízes são reais e distintas, o sistema é subamortecido. A solução geral é:
Aplicando as condições iniciais:
(a massa é solta sem velocidade inicial)
Substituindo :
E para a derivada:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
E então:
Passo 8
Portanto, a posição em função do tempo é:
Considerando que o termo decai muito rapidamente, podemos simplificar a expressão para:
Passo 9
Para encontrar o quase período, observamos que o movimento é subamortecido e a frequência amortecida é dada por:
Substituindo os valores:
Aqui, percebemos que é maior que , o que indica que o sistema está superamortecido, não subamortecido. Portanto, não há período oscilatório real, e o movimento não apresenta oscilação, apenas decaimento exponencial.
Resposta
A posição em função do tempo é aproximadamente:
E o sistema está superamortecido, portanto não possui um período oscilatório.