Uma massa de 100 g estica uma mola 10 cm. A massa está presa a um amortecedor viscoso. Suponha que a aceleração da gravidade seja de .
(b) Suponha que o amortecedor exerce uma força de quando a velocidade é de . Se a massa é puxada para baixo 2 cm e depois é solta, determine a posição em função do tempo . Qual o valor do quase período?

Passo 1

Vamos resolver essa questão de física sobre movimento harmônico amortecido. O problema envolve uma mola, um amortecedor viscoso e uma massa. Precisamos encontrar a posição da massa em função do tempo após ela ser puxada para baixo e solta, além de determinar o quase período desse movimento. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica e equações diferenciais que descrevem sistemas massa-mola-amortecedor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados fornecidos:
  • Massa (convertendo para kg para facilitar os cálculos)
  • Alongamento da mola
  • Aceleração da gravidade (convertendo para m/s²)
  • Força do amortecedor (convertendo para N)
  • Velocidade associada ao amortecedor
  • Deslocamento inicial

Passo 3

Vamos determinar a constante elástica da mola, . Sabemos que a força exercida pela mola em equilíbrio é igual ao peso da massa:
Isolando :

Passo 4

Agora, vamos encontrar o coeficiente de amortecimento . A força do amortecedor é dada por:
Isolando :

Passo 5

A equação diferencial que descreve o movimento da massa é:
Substituindo os valores que encontramos:
Podemos simplificar dividindo toda a equação por 0,1:

Passo 6

Essa equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral é da forma:
Substituindo na equação:
Resolvendo a equação quadrática para :
Isso nos dá duas soluções reais:

Passo 7

Como as raízes são reais e distintas, o sistema é subamortecido. A solução geral é:
Aplicando as condições iniciais:
  1. (a massa é solta sem velocidade inicial)
Substituindo :
E para a derivada:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
E então:

Passo 8

Portanto, a posição em função do tempo é:
Considerando que o termo decai muito rapidamente, podemos simplificar a expressão para:

Passo 9

Para encontrar o quase período, observamos que o movimento é subamortecido e a frequência amortecida é dada por:
Substituindo os valores:
Aqui, percebemos que é maior que , o que indica que o sistema está superamortecido, não subamortecido. Portanto, não há período oscilatório real, e o movimento não apresenta oscilação, apenas decaimento exponencial.

Resposta

A posição em função do tempo é aproximadamente:
E o sistema está superamortecido, portanto não possui um período oscilatório.

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Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável.
(h)
Encontre a solução geral da equação diferencial dada utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
(e) .