Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de
de 0 até
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente trabalhando com potências de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
de uma forma que seja mais fácil de integrar. Sabemos que
. Agora, vamos lidar com
.
Passo 3
Usamos a identidade trigonométrica
para simplificar
. Então,
.
Passo 4
Vamos expandir
:
Então, agora temos:
Passo 5
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Para facilitar a integração, fazemos uma substituição onde
, então
, ou seja,
.
Passo 6
Aplicando a substituição:
Passo 7
Agora, juntamos tudo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Como queremos a integral definida de 0 até
, avaliamos a antiderivada nesses limites:
Passo 9
Calculando em
:
Sabemos que
, então substituímos:
Passo 10
Calculando em
:
Passo 11
Agora, subtraímos o valor em
do valor em
:
Simplificando os termos:
Passo 12
Por fim, calculamos o valor numérico:
Resposta
A integral
é aproximadamente
.