Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de de 0 até . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente trabalhando com potências de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever de uma forma que seja mais fácil de integrar. Sabemos que . Agora, vamos lidar com .

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica para simplificar . Então, .

Passo 4

Vamos expandir :
Então, agora temos:

Passo 5

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Para facilitar a integração, fazemos uma substituição onde , então , ou seja, .

Passo 6

Aplicando a substituição:

Passo 7

Agora, juntamos tudo:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Como queremos a integral definida de 0 até , avaliamos a antiderivada nesses limites:

Passo 9

Calculando em :
Sabemos que , então substituímos:

Passo 10

Calculando em :

Passo 11

Agora, subtraímos o valor em do valor em :
Simplificando os termos:

Passo 12

Por fim, calculamos o valor numérico:

Resposta

A integral é aproximadamente .

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(b) Suponha que o amortecedor exerce uma força de quando a velocidade é de . Se a massa é puxada para baixo 2 cm e depois é solta, determine a posição em função do tempo . Qual o valor do quase período?
Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável.
(h)
Escreva a forma da decomposição em frações parciais de cada função. Não determine os valores numéricos dos coeficientes.