integral0^pi / 4 sen^5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de de 0 até . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente trabalhando com potências de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever de uma forma que seja mais fácil de integrar. Sabemos que . Agora, vamos lidar com .

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica para simplificar . Então, .

Passo 4

Vamos expandir (1 - cos^2 x)^2 = 1 - 2cos^2 x + cos^4 x :
sin^5 x = sin x cdot (1 - 2cos^2 x + cos^4 x)
Então, agora temos:

Passo 5

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral sin^5 x , dx = integral sin x , dx - 2 integral sin x cos^2 x , dx + integral sin x cos^4 x , dx
Para facilitar a integração, fazemos uma substituição onde , então , ou seja, .

Passo 6

Aplicando a substituição:
integral sin x , dx = -integral du = -u = -cos x
integral sin x cos^2 x , dx = -integral u^2 , du = -u^33 = -cos^3 x3
integral sin x cos^4 x , dx = -integral u^4 , du = -u^55 = -cos^5 x5

Passo 7

Agora, juntamos tudo:
integral sin^5 x , dx = -cos x + 23cos^3 x - 15cos^5 x + C
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Como queremos a integral definida de 0 até [-cos x + 23cos^3 x - 15cos^5 x]0^pi/4 , avaliamos a antiderivada nesses limites:

Passo 9

Calculando em -cos(pi4) + 23cos^3(pi4) - 15cos^5(pi4) :
-raiz22 + 23(raiz22)^3 - 15(raiz22)^5
Sabemos que , então substituímos:

Passo 10

Calculando em -cos(0) + 23cos^3(0) - 15cos^5(0) = -1 + 23 - 15 = -1515 + 1015 - 315 = -815 :

Passo 11

Agora, subtraímos o valor em (-raiz22 + 23(raiz22)^3 - 15(raiz22)^5) - (-815) do valor em -raiz22 + raiz212 - raiz280 + 815 :
Simplificando os termos:

Passo 12

Por fim, calculamos o valor numérico:
-raiz22 + raiz212 - raiz280 + 815 approx -0,7071 + 0,1175 - 0,0177 + 0,5333 approx -0,074

Resposta

A integral é aproximadamente .

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