Determine o maior e o menor valor de f(x, y) = e^(x^2 + y^2 + y) se (x, y) pertence ao segmento de equação x + y = 1 com -2 <= x <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o maior e o menor valor da função no segmento de reta definido por , com variando de -2 até 2. Vamos usar conceitos de cálculo de funções de várias variáveis e otimização restrita, ou seja, encontrar extremos em uma curva específica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o problema substituindo uma das variáveis pela outra usando a equação do segmento. Como , podemos resolver para :
Assim, a função vai se transformar em uma função de apenas :

Passo 3

Vamos expandir os termos no expoente para simplificar:
Então, a função fica:

Passo 4

Agora, para encontrar os extremos dessa função, vamos analisar o comportamento do expoente , já que a função exponencial é crescente. Portanto, os extremos de correspondem aos extremos de .

Passo 5

Vamos encontrar a derivada de para identificar pontos críticos:
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 6

Agora, vamos verificar se esse ponto está dentro do intervalo considerado . Como está entre -2 e 2, ele é válido.

Passo 7

Vamos calcular nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para determinar os valores máximos e mínimos:
Para :
Para :
Para :

Passo 8

Agora, olhando para os valores de :
Como a função exponencial aumenta com o aumento de , o maior valor de corresponde ao maior , e o menor valor de ao menor .

Passo 9

Portanto:
  • O maior valor de ocorre em :
  • O menor valor de ocorre em :

Resposta

O maior valor de é e o menor valor é .

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