Determine o maior e o menor valor de
se
pertence ao segmento de equação
com
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o maior e o menor valor da função
no segmento de reta definido por
, com
variando de -2 até 2. Vamos usar conceitos de cálculo de funções de várias variáveis e otimização restrita, ou seja, encontrar extremos em uma curva específica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o problema substituindo uma das variáveis pela outra usando a equação do segmento. Como
, podemos resolver para
:
Assim, a função
vai se transformar em uma função de apenas
:
Passo 3
Vamos expandir os termos no expoente para simplificar:
Então, a função fica:
Passo 4
Agora, para encontrar os extremos dessa função, vamos analisar o comportamento do expoente
, já que a função exponencial é crescente. Portanto, os extremos de
correspondem aos extremos de
.
Passo 5
Vamos encontrar a derivada de
para identificar pontos críticos:
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 6
Agora, vamos verificar se esse ponto está dentro do intervalo considerado
. Como
está entre -2 e 2, ele é válido.
Passo 7
Vamos calcular
nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para determinar os valores máximos e mínimos:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, olhando para os valores de
:
Como a função exponencial aumenta com o aumento de
, o maior valor de
corresponde ao maior
, e o menor valor de
ao menor
.
Passo 9
Portanto:
-
O maior valor de
ocorre em : -
O menor valor de
ocorre em :
Resposta
O maior valor de
é
e o menor valor é
.