Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
E já temos uma solução conhecida:
.
Vamos trabalhar com equações diferenciais de segunda ordem e usar a redução de ordem para encontrar a segunda solução. Para isso, precisamos saber um pouco sobre soluções lineares e como encontrar uma solução adicional quando já conhecemos uma.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se temos uma solução conhecida
para a equação homogênea, podemos procurar uma segunda solução na forma:
Aqui,
é uma função que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
em relação a
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Vamos simplificar termo a termo:
Agora, juntando tudo:
Passo 5
Vamos combinar os termos semelhantes:
- Termos com
: - Termos com
: - Termos com
:
Então, a equação fica:
Passo 6
Dividindo todos os termos por
para simplificar:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem para
.
Passo 7
Observando, essa nova equação ainda é complexa, então vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos definir:
Então, a derivada de
é:
Substituindo na equação:
Mas percebemos que ainda está complicado. Vamos tentar uma abordagem diferente usando a redução de ordem padrão.
Passo 8
A técnica de redução de ordem sugere que a segunda solução pode ser escrita como:
Onde a equação está na forma
.
Vamos reorganizar nossa equação original para identificar
e
.
Primeiro, dividimos toda a equação por
:
Então, temos:
Passo 9
Agora, vamos calcular as integrais necessárias:
Primeiro,
Então,
. Como
, podemos simplificar para
.
Agora, calculamos
.
Passo 10
Substituindo na fórmula:
Então, a segunda solução é:
Passo 11
Portanto, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das duas soluções independentes:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes.
Exercícios relacionados
(a)
, use os comandos discutidos no Exercício 11 para encontrar as somas esquerda e direita para
.
Determine o maior e o menor valor de
se
pertence ao segmento de reta de equação
.
Encontre as soluções gerais, assumindo