Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
E já temos uma solução conhecida: .
Vamos trabalhar com equações diferenciais de segunda ordem e usar a redução de ordem para encontrar a segunda solução. Para isso, precisamos saber um pouco sobre soluções lineares e como encontrar uma solução adicional quando já conhecemos uma.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se temos uma solução conhecida para a equação homogênea, podemos procurar uma segunda solução na forma:
Aqui, é uma função que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de em relação a :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial original:
Vamos simplificar termo a termo:
Agora, juntando tudo:

Passo 5

Vamos combinar os termos semelhantes:
  • Termos com :
  • Termos com :
  • Termos com :
Então, a equação fica:

Passo 6

Dividindo todos os termos por para simplificar:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem para .

Passo 7

Observando, essa nova equação ainda é complexa, então vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos definir:
Então, a derivada de é:
Substituindo na equação:
Mas percebemos que ainda está complicado. Vamos tentar uma abordagem diferente usando a redução de ordem padrão.

Passo 8

A técnica de redução de ordem sugere que a segunda solução pode ser escrita como:
Onde a equação está na forma .
Vamos reorganizar nossa equação original para identificar e .
Primeiro, dividimos toda a equação por :
Então, temos:

Passo 9

Agora, vamos calcular as integrais necessárias:
Primeiro,
Então, . Como , podemos simplificar para .
Agora, calculamos .

Passo 10

Substituindo na fórmula:
Então, a segunda solução é:

Passo 11

Portanto, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das duas soluções independentes:
Onde e são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes.

Exercícios relacionados

(a) , use os comandos discutidos no Exercício 11 para encontrar as somas esquerda e direita para .
Determine o maior e o menor valor de se pertence ao segmento de reta de equação .
Encontre as soluções gerais, assumindo