Determine o maior subconjunto de R^2 onde ln(1+x^2+y^2)/x^2 é contínua.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis, , e a gente quer descobrir em quais pontos do plano essa função é contínua. Para resolver isso, vamos precisar lembrar sobre continuidade de funções de várias variáveis e entender onde o denominador pode causar problemas, já que não podemos dividir por zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar onde a função está bem definida. A função está definida para todos os e em porque o argumento do logaritmo, , é sempre maior que zero. O problema pode acontecer no denominador , que é zero quando .

Passo 3

Então, precisamos verificar a continuidade da função em todos os pontos onde e ver o que acontece quando se aproxima de zero. Para , o denominador não é zero, então a função está bem definida e contínua, já que tanto o numerador quanto o denominador são contínuos.

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece quando se aproxima de zero. Se fixarmos , a função se torna , que não está definida porque não podemos dividir por zero. Portanto, a função não é contínua nos pontos onde .

Passo 5

Com base nisso, o maior subconjunto de onde a função é contínua é todo o plano menos a linha onde . Em outras palavras, a função é contínua para todos os pontos em onde .

Resposta

O maior subconjunto de onde é contínua é todo o plano menos a linha . Ou seja, a função é contínua para todos os em onde .

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