Escreva os primeiros termos da série
para encontrar
e
. Calcule a soma da série e expresse a desigualdade
em termos de
, encontrando os valores de
para os quais a desigualdade é válida e a série converge.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma série infinita dada por
. O objetivo é:
- Escrever os primeiros termos dessa série para identificar os valores de
(primeiro termo) e (razão). - Calcular a soma da série.
- Encontrar para quais valores de
a série converge, ou seja, quando a desigualdade é satisfeita.
Vamos precisar conhecer um pouquinho sobre séries geométricas, que são aquelas onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão (
).
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da série para identificar
e
. A série é:
Vamos calcular os termos para
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Então, os primeiros termos são:
Comparando com a forma geral de uma série geométrica:
Vemos que:
- O primeiro termo
é . - A razão
é , porque cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por .
Passo 3
Agora que temos
e
, podemos calcular a soma da série. Para uma série geométrica infinita com
, a soma
é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Então, a soma da série é
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar para quais valores de
a série converge. Para isso, usamos a condição de convergência de uma série geométrica infinita:
.
Sabemos que
, então:
A condição fica:
Resolvendo essa desigualdade:
Portanto, a série converge para valores de
tais que
está entre
e
.
Resposta
A soma da série
é
e a série converge para todos os valores de
no intervalo
.