Escreva os primeiros termos da série sumn=0^infty(-1)^n x^2 n para encontrar a e r. Calcule a soma da série e expresse a desigualdade |r|<1 em termos de x, encontrando os valores de x para os quais a desigualdade é válida e a série converge.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma série infinita dada por sumn=0^infty(-1)^n x^2 n. O objetivo é:
  1. Escrever os primeiros termos dessa série para identificar os valores de a (primeiro termo) e r (razão).
  2. Calcular a soma da série.
  3. Encontrar para quais valores de x a série converge, ou seja, quando a desigualdade |r| < 1 é satisfeita.
Vamos precisar conhecer um pouquinho sobre séries geométricas, que são aquelas onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão ( r).

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da série para identificar a e r. A série é:
sumn=0^infty(-1)^n x^2 n
Vamos calcular os termos para n = 0, 1, 2, 3:
  • Para n = 0:
    (-1)^0 x^2 cdot 0 = 1 cdot x^0 = 1
  • Para n = 1:
    (-1)^1 x^2 cdot 1 = -1 cdot x^2 = -x^2
  • Para n = 2:
    (-1)^2 x^2 cdot 2 = 1 cdot x^4 = x^4
  • Para n = 3:
    (-1)^3 x^2 cdot 3 = -1 cdot x^6 = -x^6
Então, os primeiros termos são:
1 - x^2 + x^4 - x^6 + dots
Comparando com a forma geral de uma série geométrica:
a + ar + ar^2 + ar^3 + dots
Vemos que:
  • O primeiro termo a é 1.
  • A razão r é -x^2, porque cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por -x^2.

Passo 3

Agora que temos a = 1 e r = -x^2, podemos calcular a soma da série. Para uma série geométrica infinita com |r| < 1, a soma S é dada por:
S = a1 - r
Substituindo os valores que encontramos:
S = 11 - (-x^2) = 11 + x^2
Então, a soma da série é 11 + x^2.

Passo 4

Agora, precisamos determinar para quais valores de x a série converge. Para isso, usamos a condição de convergência de uma série geométrica infinita: |r| < 1.
Sabemos que r = -x^2, então:
|r| = |-x^2| = |x^2| = x^2
A condição fica:
x^2 < 1
Resolvendo essa desigualdade:
-1 < x < 1
Portanto, a série converge para valores de x tais que x está entre -1 e 1.

Resposta

A soma da série sumn=0^infty(-1)^n x^2 n é 11 + x^2 e a série converge para todos os valores de x no intervalo -1 < x < 1.

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