Determine o maior subconjunto da reta onde as funções abaixo estão bem definidas (domínio maximal).
(*) Domínio maximal de uma função real é o maior subconjunto da reta real, onde a função está bem definida.
(*) Domínio maximal de uma função real é o maior subconjunto da reta real, onde a função está bem definida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir qual é o maior conjunto de números reais onde a função
está bem definida. Isso significa que a gente precisa encontrar todos os valores de
que não causam problemas na função, como divisão por zero ou raízes de números negativos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador da função:
. Para que a função esteja definida, esse denominador não pode ser zero e também não pode ter a raiz de um número negativo.
Passo 3
Vamos garantir que o radicando, que é
, seja positivo. Então, precisamos resolver a desigualdade:
Passo 4
Para resolver essa desigualdade, vamos analisar o discriminante da equação quadrática
. O discriminante
é dado por:
Passo 5
Como o discriminante é negativo (
), isso significa que a equação quadrática não tem raízes reais. Portanto, o polinômio
nunca é igual a zero e sempre mantém o mesmo sinal para qualquer valor de
.
Passo 6
Para descobrir se
é sempre positivo ou sempre negativo, podemos testar com qualquer valor de
. Vamos usar
:
Como o resultado é positivo e o polinômio não muda de sinal, concluímos que
para todo
real.
Resposta
O domínio maximal da função
é todos os números reais, ou seja,
.