Determine o maior subconjunto da reta onde as funções abaixo estão bem definidas (domínio maximal).
f(x) = x / raiz(x^2 + 4 x + 5)
(*) Domínio maximal de uma função real é o maior subconjunto da reta real, onde a função está bem definida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir qual é o maior conjunto de números reais onde a função está bem definida. Isso significa que a gente precisa encontrar todos os valores de que não causam problemas na função, como divisão por zero ou raízes de números negativos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da função: . Para que a função esteja definida, esse denominador não pode ser zero e também não pode ter a raiz de um número negativo.

Passo 3

Vamos garantir que o radicando, que é , seja positivo. Então, precisamos resolver a desigualdade:

Passo 4

Para resolver essa desigualdade, vamos analisar o discriminante da equação quadrática . O discriminante é dado por:

Passo 5

Como o discriminante é negativo ( ), isso significa que a equação quadrática não tem raízes reais. Portanto, o polinômio nunca é igual a zero e sempre mantém o mesmo sinal para qualquer valor de .

Passo 6

Para descobrir se é sempre positivo ou sempre negativo, podemos testar com qualquer valor de . Vamos usar :
Como o resultado é positivo e o polinômio não muda de sinal, concluímos que para todo real.

Resposta

O domínio maximal da função é todos os números reais, ou seja, .

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