Se x in [0, pi / 2) é tal que tg(x) = raiz(5), determine cos(x) e sen(x).

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para determinar e sabendo que está no intervalo e que . Isso está dentro do estudo das funções trigonométricas básicas, onde vamos usar relações entre seno, cosseno e tangente para encontrar os valores desejados.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a tangente de um ângulo é a razão entre o seno e o cosseno desse ângulo:
Dado que , podemos escrever:

Passo 3

Para facilitar a resolução, vamos imaginar um triângulo retângulo onde o ângulo tem:
  • Lado oposto a :
  • Lado adjacente a :
Com base na relação da tangente:
Podemos assumir que:
  • Lado oposto =
  • Lado adjacente =

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a hipotenusa desse triângulo. Usamos o Teorema de Pitágoras:

Passo 5

Com a hipotenusa encontrada, podemos determinar e usando as definições:

Resposta

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