Resolva as inequações abaixo e forneça as respostas usando notação de intervalo.
-x^2 + 4x < 0

Passo 1

Vamos resolver a inequação . Esse é um exercício de inequação quadrática, ou seja, uma inequação que envolve um polinômio de segundo grau. Para resolver, vamos precisar encontrar os valores de x que tornam a expressão negativa, analisando os pontos em que a expressão é igual a zero e verificando os sinais nos intervalos formados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores de x que satisfazem a equação . Isso nos dará os pontos críticos onde a expressão muda de sinal.

Passo 3

Resolvendo a equação , podemos fatorar:
Portanto, as soluções são x = 0 e .

Passo 4

Agora, vamos dividir a linha dos números reais em intervalos com base nesses pontos críticos: -\infty, 0, e . Em cada intervalo, vamos determinar se a expressão é positiva ou negativa.

Passo 5

Escolhemos um número de teste em cada intervalo:
  • Para , por exemplo, :
  • Para , por exemplo, x = 2:
  • Para , por exemplo, :

Passo 6

Como a inequação é , buscamos os intervalos onde a expressão é negativa. Observamos que isso ocorre em -\infty, 0 e .

Resposta

A solução da inequação é .

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