Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver um problema de otimização usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange. A função que queremos otimizar é
e a restrição é
. Basicamente, queremos encontrar os valores de
e
que deixam
com o maior ou menor valor possível, sem violar a condição
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são multiplicadores de Lagrange. Esse método é usado quando queremos otimizar uma função sujeita a uma restrição. A ideia é criar uma nova função, chamada de função de Lagrange, que combina a função que queremos otimizar com a restrição multiplicada por um multiplicador (geralmente denotado por
).
Passo 3
Vamos montar a função de Lagrange. Para isso, a gente junta nossa função
com a restrição multiplicada por
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os pontos onde as derivadas parciais de
em relação a
,
e
são iguais a zero. Isso vai nos dar as equações que precisamos resolver.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Passo 6
Vamos simplificar as primeiras duas equações:
- De
, podemos fatorar :
Isso nos dá duas possibilidades:
ou
.
- Similarmente, de
:
Novamente,
ou
.
Passo 7
Vamos analisar os casos:
Caso 1:
- Se
, da restrição , temos .
Caso 2:
- Similarmente, se
, então .
Caso 3:
e
- Isso implica que
e .
Passo 8
No Caso 3, como
, podemos dizer que
ou
.
Vamos supor que
. Substituindo na restrição:
Então,
.
Se considerarmos
, o processo é similar e também nos leva a
e
.
Passo 9
Agora, vamos listar todos os pontos críticos encontrados:
Passo 10
Vamos calcular o valor de
em cada ponto:
- Em
: - Em
: - Em
: - Em
: - Em
: - Em
: Também - Em
: Também - Em
: Também
Passo 11
Finalmente, vamos interpretar os resultados:
- Os pontos onde
são pontos de mínimo. - Os pontos onde
são pontos de máximo.
Resposta
Os extremos da função
sob a restrição
são:
- Máximo em
nos pontos . - Mínimo em
nos pontos e .
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(2)
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(6)
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.