Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver um problema de otimização usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange. A função que queremos otimizar é e a restrição é . Basicamente, queremos encontrar os valores de e que deixam com o maior ou menor valor possível, sem violar a condição .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são multiplicadores de Lagrange. Esse método é usado quando queremos otimizar uma função sujeita a uma restrição. A ideia é criar uma nova função, chamada de função de Lagrange, que combina a função que queremos otimizar com a restrição multiplicada por um multiplicador (geralmente denotado por ).

Passo 3

Vamos montar a função de Lagrange. Para isso, a gente junta nossa função com a restrição multiplicada por :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os pontos onde as derivadas parciais de em relação a , e são iguais a zero. Isso vai nos dar as equações que precisamos resolver.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 6

Vamos simplificar as primeiras duas equações:
  1. De , podemos fatorar :
Isso nos dá duas possibilidades: ou .
  1. Similarmente, de :
Novamente, ou .

Passo 7

Vamos analisar os casos:
Caso 1:
  • Se , da restrição , temos .
Caso 2:
  • Similarmente, se , então .
Caso 3: e
  • Isso implica que e .

Passo 8

No Caso 3, como , podemos dizer que ou .
Vamos supor que . Substituindo na restrição:
Então, .
Se considerarmos , o processo é similar e também nos leva a e .

Passo 9

Agora, vamos listar todos os pontos críticos encontrados:

Passo 10

Vamos calcular o valor de em cada ponto:
  1. Em :
  2. Em :
  3. Em :
  4. Em :
  5. Em :
  6. Em : Também
  7. Em : Também
  8. Em : Também

Passo 11

Finalmente, vamos interpretar os resultados:
  • Os pontos onde são pontos de mínimo.
  • Os pontos onde são pontos de máximo.

Resposta

Os extremos da função sob a restrição são:
  • Máximo em nos pontos .
  • Mínimo em nos pontos e .

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.