Sejam W=(x, y, z) in R^3 ; x^2+y^2+z^2 <= 1 e f: W R definida por f(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2. Calcule
integral triplaW f(x, y, z) d x d y d z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular uma integral tripla sobre o conjunto , que é a esfera de raio 1 no espaço tridimensional. A função que vamos integrar é . Para resolver isso, vamos usar o que conhecemos de cálculo multivariável, especificamente as coordenadas esféricas, que facilitam bastante quando lidamos com simetrias esféricas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função que estamos integrando: . Isso representa a distância de qualquer ponto até a origem. Na esfera , essa distância varia de 0 até 1, já que a esfera tem raio 1.

Passo 3

Agora, para facilitar o cálculo da integral tripla, vamos mudar para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por , onde:
  • é a distância do ponto à origem,
  • é o ângulo no plano (similar ao ângulo polar),
  • é o ângulo em relação ao eixo .
A vantagem de usar coordenadas esféricas aqui é que a região se torna mais simples de descrever.

Passo 4

Em coordenadas esféricas, a função que vamos integrar vira simplesmente , já que .

Passo 5

Precisamos também expressar o elemento de volume dV = r^2 sin phi , dr , dtheta , dphi em coordenadas esféricas. A fórmula para isso é:
Isso vai nos ajudar a configurar a integral tripla.

Passo 6

Agora, vamos definir os limites de integração:
  • varia de 0 a 1 (raio da esfera),
  • varia de 0 a (uma volta completa no plano ),
  • varia de 0 a (do polo norte ao polo sul).

Passo 7

Vamos montar a integral tripla em coordenadas esféricas:
integral triplaW f(x, y, z) , dx , dy , dz = integral0^2pi integral0^pi integral0^1 r cdot r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta
Aqui, vem da função e do elemento de volume.

Passo 8

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14 :

Passo 9

Em seguida, integramos em relação a integral0^pi sin phi , dphi = [ -cos phi ]0^pi = -cos pi + cos 0 = 2 :

Passo 10

Por último, integramos em relação a integral0^2pi dtheta = 2pi :

Passo 11

Agora, multiplicamos todos os resultados das integrais:
14 times 2 times 2pi = pi

Resposta

pi

Exercícios relacionados