Sejam
e
definida por
. Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular uma integral tripla sobre o conjunto
, que é a esfera de raio 1 no espaço tridimensional. A função que vamos integrar é
. Para resolver isso, vamos usar o que conhecemos de cálculo multivariável, especificamente as coordenadas esféricas, que facilitam bastante quando lidamos com simetrias esféricas como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função que estamos integrando:
. Isso representa a distância de qualquer ponto
até a origem. Na esfera
, essa distância varia de 0 até 1, já que a esfera tem raio 1.
Passo 3
Agora, para facilitar o cálculo da integral tripla, vamos mudar para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto à origem, -
é o ângulo no plano (similar ao ângulo polar), -
é o ângulo em relação ao eixo .
A vantagem de usar coordenadas esféricas aqui é que a região
se torna mais simples de descrever.
Passo 4
Em coordenadas esféricas, a função que vamos integrar
vira simplesmente
, já que
.
Passo 5
Precisamos também expressar o elemento de volume
em coordenadas esféricas. A fórmula para isso é:
Isso vai nos ajudar a configurar a integral tripla.
Passo 6
Agora, vamos definir os limites de integração:
-
varia de 0 a 1 (raio da esfera), -
varia de 0 a (uma volta completa no plano ), -
varia de 0 a (do polo norte ao polo sul).
Passo 7
Vamos montar a integral tripla em coordenadas esféricas:
Aqui,
vem da função
e
do elemento de volume.
Passo 8
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 9
Em seguida, integramos em relação a
:
Passo 10
Por último, integramos em relação a
:
Passo 11
Agora, multiplicamos todos os resultados das integrais: