Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região e tem função densidade . O limite de uma lâmina consiste nos semicírculos e juntamente com as partes do eixo que os une. Encontre o centro de massa da lâmina se a densidade em qualquer ponto é proporcional à sua distância da origem.
Passo 1
Beleza, então temos uma lâmina que está entre dois semicírculos: um menor com equação e outro maior com . A densidade dessa lâmina é proporcional à distância de cada ponto até a origem. Vamos precisar usar conceitos de cálculo para determinar a massa total e o centro de massa dessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a densidade em termos da distância até a origem. A distância de um ponto até a origem é dada por . Como a densidade é proporcional a essa distância, podemos escrever , onde é uma constante de proporcionalidade.
Passo 3
Para encontrar a massa total da lâmina, precisamos integrar a densidade sobre toda a região . Em coordenadas polares, onde e , a área elementar é . Então, a massa é:
Passo 4
Vamos calcular a integral interna em :
Agora, a massa fica:
Passo 5
Para encontrar o centro de massa , devido à simetria da lâmina em relação ao eixo , sabemos que . Vamos focar em encontrar .
A coordenada é dada por:
Simplificando:
Passo 6
Calculando a integral interna em :
Então,
Conhecendo que , temos:
Resposta
A massa da lâmina é e o centro de massa está na origem, isto é, .