Resolver as EDOs y' + y = 2t e^(2t) ; y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) com a condição inicial . Nesse tipo de problema, usamos o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver EDOs lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação. Ela está na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes.

Passo 5

Aplicando integração por partes onde e , obtemos:
Então, temos:
Multiplicando ambos os lados por para isolar :

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Simplificando:

Resposta

A solução da EDO é:

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