Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região e tem função densidade . Uma lâmina ocupa a parte do disco no primeiro quadrante. Determine o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto ao eixo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a massa e o centro de massa de uma lâmina que está na região do primeiro quadrante do disco . A densidade dessa lâmina é proporcional à distância do ponto ao eixo , ou seja, depende de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de massa e centro de massa de áreas, integrando sobre a região dada.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar a densidade em termos de . Já que é proporcional à distância do ponto ao eixo , temos que:
onde é uma constante de proporcionalidade.
Passo 3
Agora, vamos calcular a massa total da lâmina. A massa é dada pela integral dupla da densidade sobre a região :
Substituindo por :
Passo 4
Precisamos definir os limites de integração para a região . Como estamos no primeiro quadrante do disco , os limites ficam:
vai de 0 a 1
Para cada , vai de 0 a
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Passo 6
Agora, substituímos na integral de :
Passo 7
Resolvendo a integral:
Então:
Passo 8
Agora, vamos encontrar as coordenadas do centro de massa . As fórmulas são:
Passo 9
Vamos calcular primeiro:
Usando os mesmos limites de integração:
Passo 10
Resolvendo a integral interna:
Passo 11
Agora, integramos em relação a :
Passo 12
Agora, substituímos na fórmula de :
Passo 13
Agora, vamos calcular :
Passo 14
Vamos resolver a integral :
Essa integral pode ser resolvida usando substituição trigonométrica ou tabelas de integrais, e resulta em:
Passo 15
Então, substituindo na fórmula de :
Resposta
A massa da lâmina é e o centro de massa está nas coordenadas .