Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região e tem função densidade . Uma lâmina ocupa a parte do disco no primeiro quadrante. Determine o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto ao eixo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a massa e o centro de massa de uma lâmina que está na região do primeiro quadrante do disco . A densidade dessa lâmina é proporcional à distância do ponto ao eixo , ou seja, depende de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de massa e centro de massa de áreas, integrando sobre a região dada.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar a densidade em termos de . Já que é proporcional à distância do ponto ao eixo , temos que:
onde é uma constante de proporcionalidade.

Passo 3

Agora, vamos calcular a massa total da lâmina. A massa é dada pela integral dupla da densidade sobre a região :
Substituindo por :

Passo 4

Precisamos definir os limites de integração para a região . Como estamos no primeiro quadrante do disco , os limites ficam:
  • vai de 0 a 1
  • Para cada , vai de 0 a
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos na integral de :

Passo 7

Resolvendo a integral:
Então:

Passo 8

Agora, vamos encontrar as coordenadas do centro de massa . As fórmulas são:

Passo 9

Vamos calcular primeiro:
Usando os mesmos limites de integração:

Passo 10

Resolvendo a integral interna:

Passo 11

Agora, integramos em relação a :

Passo 12

Agora, substituímos na fórmula de :

Passo 13

Agora, vamos calcular :

Passo 14

Vamos resolver a integral :
Essa integral pode ser resolvida usando substituição trigonométrica ou tabelas de integrais, e resulta em:

Passo 15

Então, substituindo na fórmula de :

Resposta

A massa da lâmina é e o centro de massa está nas coordenadas .

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