Uma partícula se move em um campo de velocidade . Se ela está na posição no instante , estime sua posição no instante .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula que se move num campo de velocidade dado por . Estamos sabendo que, no instante , a partícula está na posição . A ideia é estimar, de forma aproximada, onde ela estará no instante . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento em campos de velocidade e usar uma técnica simples de aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o campo de velocidade . Aqui, e são os vetores unitários nas direções e , respectivamente. Isso quer dizer que a velocidade da partícula depende da sua posição atual no plano.
Para estimar a posição futura, vamos usar uma abordagem chamada método de Euler, que é uma maneira simples de aproximar soluções para equações diferenciais. A ideia é usar a velocidade atual para aproximar a nova posição após um pequeno intervalo de tempo.

Passo 3

Vamos definir o intervalo de tempo . No instante inicial , a posição é . Primeiro, calculamos a velocidade nesse ponto:
Isso significa que, no instante , a velocidade da partícula é na direção e na direção .

Passo 4

Agora, para estimar a nova posição no instante , usamos a fórmula do método de Euler:
Substituindo os valores que temos:

Resposta

A posição estimada da partícula no instante é .

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Verifique se a função é solução da equação diferencial.
Esboce o campo vetorial , das funções abaixo
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