Uma partícula se move em um campo de velocidade
. Se ela está na posição
no instante
, estime sua posição no instante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula que se move num campo de velocidade dado por
. Estamos sabendo que, no instante
, a partícula está na posição
. A ideia é estimar, de forma aproximada, onde ela estará no instante
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento em campos de velocidade e usar uma técnica simples de aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o campo de velocidade
. Aqui,
e
são os vetores unitários nas direções
e
, respectivamente. Isso quer dizer que a velocidade da partícula depende da sua posição atual no plano.
Para estimar a posição futura, vamos usar uma abordagem chamada método de Euler, que é uma maneira simples de aproximar soluções para equações diferenciais. A ideia é usar a velocidade atual para aproximar a nova posição após um pequeno intervalo de tempo.
Passo 3
Vamos definir o intervalo de tempo
. No instante inicial
, a posição é
. Primeiro, calculamos a velocidade nesse ponto:
Isso significa que, no instante
, a velocidade da partícula é
na direção
e
na direção
.
Passo 4
Agora, para estimar a nova posição
no instante
, usamos a fórmula do método de Euler:
Substituindo os valores que temos:
Resposta
A posição estimada da partícula no instante
é
.
Exercícios relacionados
Um tanque contém originalmente
de água pura. Uma solução de
de certo sal é introduzida no tanque com uma vazão de
e a solução homogênea resultante sai do tanque com a mesma vazão. Depois de 10 minutos o processo é interrompido e água pura é despejada no tanque com uma vazão de
; a solução sai novamente do tanque com a mesma vazão. Determine a quantidade de sal no tanque após mais 10 minutos.
Verifique se a função
é solução da equação diferencial.
Esboce o campo vetorial
, das funções abaixo
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região
e tem função densidade
. Uma lâmina ocupa a parte do disco
no primeiro quadrante. Determine o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto ao eixo
.