Uma lâmina homogênea tem a forma de um triângulo retângulo de catetos e . Ache o momento de inércia em função de sua massa .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma lâmina homogênea em forma de triângulo retângulo com catetos de medidas e . O objetivo é encontrar o momento de inércia dessa lâmina em função de sua massa . Aqui, vamos precisar usar conceitos de momento de inércia e cálculo integral, já que vamos calcular como a massa está distribuída em relação a um eixo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. Ele mede a resistência de um objeto à mudança em seu movimento rotacional e depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Matematicamente, para uma lâmina plana, o momento de inércia em relação ao eixo perpendicular à lâmina é dado por:
Onde são as coordenadas de um elemento de massa na lâmina.
Passo 3
Como a lâmina é homogênea, sua densidade superficial (massa por unidade de área) é constante. Podemos calcular dividindo a massa total pela área do triângulo:
Isso nos permitirá expressar em termos de e .
Passo 4
Vamos estabelecer um sistema de coordenadas onde o vértice do triângulo está na origem , o cateto de comprimento está ao longo do eixo e o cateto de comprimento está ao longo do eixo . Assim, a hipotenusa está definida pela equação:
Isso nos dá os limites de integração para de a , e para cada , varia de a .
Passo 5
Substituindo pela densidade multiplicada pela área diferencial , temos:
Agora, substituímos pela expressão encontrada anteriormente:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a primeiro:
Calculando:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Passo 8
Vamos expandir e integrar termo a termo:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Fazemos a substituição , então , ou . Os limites de u quando x = 0 é , e quando x = b, u = 0:
Passo 9
Somando os dois resultados:
Resposta
O momento de inércia da lâmina triangular em função da massa M é: