Uma lâmina homogênea tem a forma de um triângulo retângulo de catetos b e h. Ache o momento de inércia em função de sua massa M.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma lâmina homogênea em forma de triângulo retângulo com catetos de medidas b e h. O objetivo é encontrar o momento de inércia dessa lâmina em função de sua massa M. Aqui, vamos precisar usar conceitos de momento de inércia e cálculo integral, já que vamos calcular como a massa está distribuída em relação a um eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. Ele mede a resistência de um objeto à mudança em seu movimento rotacional e depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Matematicamente, para uma lâmina plana, o momento de inércia I em relação ao eixo z perpendicular à lâmina é dado por:
Onde (x, y) são as coordenadas de um elemento de massa na lâmina.

Passo 3

Como a lâmina é homogênea, sua densidade superficial sigma (massa por unidade de área) é constante. Podemos calcular sigma dividindo a massa total M pela área do triângulo:
Á
Isso nos permitirá expressar em termos de e .

Passo 4

Vamos estabelecer um sistema de coordenadas onde o vértice do triângulo está na origem (0,0), o cateto de comprimento b está ao longo do eixo x e o cateto de comprimento h está ao longo do eixo y. Assim, a hipotenusa está definida pela equação:
Isso nos dá os limites de integração para x de 0 a b, e para cada x, y varia de 0 a .

Passo 5

Substituindo pela densidade sigma multiplicada pela área diferencial , temos:
Agora, substituímos sigma pela expressão encontrada anteriormente:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a y primeiro:
Calculando:

Passo 7

Simplificando a expressão:
Agora, substituímos de volta na integral externa:

Passo 8

Vamos expandir e integrar termo a termo:
  1. Para o primeiro termo:
  1. Para o segundo termo:
Fazemos a substituição , então , ou . Os limites de u quando x = 0 é , e quando x = b, u = 0:

Passo 9

Somando os dois resultados:

Resposta

O momento de inércia da lâmina triangular em função da massa M é:

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