Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) que precisa verificar se é exata. Se não for, a gente vai usar fatores integrantes pra resolver. Depois, a gente vai encontrar a solução da EDO e, se tiver uma condição inicial, vamos achar também a solução particular. A equação que a gente vai trabalhar é:
Aqui, vamos precisar entender sobre EDOs exatas e como encontrar soluções usando fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a EDO é exata. Uma EDO na forma:
é exata se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos identificar
e
na nossa equação:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a EDO é exata!
Passo 3
Como a EDO é exata, sabemos que existe uma funç��o
tal que:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Nessa integral,
é tratado como constante em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos considerar
.
Então, a função potencial é:
Passo 4
Agora, para resolver a EDO, sabemos que
. Vamos chamar a constante de
:
Essa é a solução geral da EDO. Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar a solução particular.
Substituindo
e
na equação:
Resposta
A solução particular da EDO, atendendo à condição inicial
, é:
Ou, isolando
: