Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
e^(2 x)(2 cos y dx - sen y dy) = 0, y(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) que precisa verificar se é exata. Se não for, a gente vai usar fatores integrantes pra resolver. Depois, a gente vai encontrar a solução da EDO e, se tiver uma condição inicial, vamos achar também a solução particular. A equação que a gente vai trabalhar é:
Aqui, vamos precisar entender sobre EDOs exatas e como encontrar soluções usando fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a EDO é exata. Uma EDO na forma:
é exata se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a . Vamos identificar e na nossa equação:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como , a EDO é exata!

Passo 3

Como a EDO é exata, sabemos que existe uma funç��o tal que:
Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Nessa integral, é tratado como constante em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos considerar .
Então, a função potencial é:

Passo 4

Agora, para resolver a EDO, sabemos que . Vamos chamar a constante de :
Essa é a solução geral da EDO. Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar a solução particular.
Substituindo e na equação:

Resposta

A solução particular da EDO, atendendo à condição inicial , é:
Ou, isolando :

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