Encontre a solução geral da E.D.O.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a solução geral da E.D.O.
. Isso está relacionado ao estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente às equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método dos equacionamentos características.
Passo 2
Primeiro, vamos construir a equação característica dessa EDO. A equação dada é:
Substituímos as derivadas por potências de
da seguinte forma:
Essa é a nossa equação característica.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática resultante:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Neste caso, a fatoração é simples:
Isso nos dá uma raiz dupla:
Passo 4
Como temos raízes reais e iguais (raiz dupla), a solução geral da EDO será:
Substituindo
:
Onde
e
são constantes que serão determinadas por condições iniciais, caso sejam fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é: