Encontre a solução geral da E.D.O. y'' - 2y' + y = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a solução geral da E.D.O. . Isso está relacionado ao estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente às equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método dos equacionamentos características.

Passo 2

Primeiro, vamos construir a equação característica dessa EDO. A equação dada é:
Substituímos as derivadas por potências de da seguinte forma:
Essa é a nossa equação característica.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática resultante:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Neste caso, a fatoração é simples:
Isso nos dá uma raiz dupla:

Passo 4

Como temos raízes reais e iguais (raiz dupla), a solução geral da EDO será:
Substituindo :
Onde e são constantes que serão determinadas por condições iniciais, caso sejam fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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