Determine a matriz canônica
da transformação linear
dada por
e verifique a relação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a matriz canônica
da transformação linear
definida por
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre como representar transformações lineares por matrizes. Precisamos descobrir qual matriz, quando multiplicada pelo vetor
, resulta no vetor
.
Passo 2
Primeiro, lembrando que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz, onde cada coluna da matriz corresponde à transformação dos vetores da base canônica. No
, a base canônica é formada pelos vetores
e
.
Passo 3
Vamos encontrar a imagem de cada vetor da base canônica através da transformação
.
- Aplicando
em :
- Aplicando
em :
Passo 4
Agora, colocamos esses resultados como colunas da matriz
. Assim, a matriz canônica de
é:
Passo 5
Para verificar a relação
, vamos multiplicar a matriz
pelo vetor
:
Isso confirma que
é realmente igual a
.
Resposta
A matriz canônica da transformação linear
é:
E verificamos que: