Determine a matriz canônica [T] da transformação linear T: R^2 longrightarrow R^2 dada por
T(x, y)=(3 x-2 y, x-5 y)
e verifique a relação
T(x, y)=[T][l x y ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a matriz canônica x y da transformação linear definida por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre como representar transformações lineares por matrizes. Precisamos descobrir qual matriz, quando multiplicada pelo vetor , resulta no vetor .

Passo 2

Primeiro, lembrando que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz, onde cada coluna da matriz corresponde à transformação dos vetores da base canônica. No 1 0 , a base canônica é formada pelos vetores 0 1 e .

Passo 3

Vamos encontrar a imagem de cada vetor da base canônica através da transformação 1 0 .
  1. Aplicando T(1, 0) = (3 cdot 1 - 2 cdot 0, 1 cdot 1 - 5 cdot 0) = (3, 1) em 0 1 :
T(0, 1) = (3 cdot 0 - 2 cdot 1, 1 cdot 0 - 5 cdot 1) = (-2, -5)
  1. Aplicando em :

Passo 4

Agora, colocamos esses resultados como colunas da matriz [T] = 3 & -2 1 & -5 . Assim, a matriz canônica de é:

Passo 5

Para verificar a relação x y , vamos multiplicar a matriz x y pelo vetor [T] x y = 3 & -2 1 & -5 x y = 3x - 2y x - 5y :
x y
Isso confirma que é realmente igual a .

Resposta

A matriz canônica da transformação linear [T] = 3 & -2 1 & -5 é:
T(x, y) = [T] x y
E verificamos que:

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