Determine a matriz canônica da transformação linear dada por
e verifique a relação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a matriz canônica da transformação linear definida por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre como representar transformações lineares por matrizes. Precisamos descobrir qual matriz, quando multiplicada pelo vetor , resulta no vetor .
Passo 2
Primeiro, lembrando que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz, onde cada coluna da matriz corresponde à transformação dos vetores da base canônica. No , a base canônica é formada pelos vetores e .
Passo 3
Vamos encontrar a imagem de cada vetor da base canônica através da transformação .
Aplicando em :
Aplicando em :
Passo 4
Agora, colocamos esses resultados como colunas da matriz . Assim, a matriz canônica de é:
Passo 5
Para verificar a relação , vamos multiplicar a matriz pelo vetor :