Determine a matriz canônica da transformação linear dada por
e verifique a relação

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a matriz canônica da transformação linear definida por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre como representar transformações lineares por matrizes. Precisamos descobrir qual matriz, quando multiplicada pelo vetor , resulta no vetor .

Passo 2

Primeiro, lembrando que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz, onde cada coluna da matriz corresponde à transformação dos vetores da base canônica. No , a base canônica é formada pelos vetores e .

Passo 3

Vamos encontrar a imagem de cada vetor da base canônica através da transformação .
  1. Aplicando em :
  1. Aplicando em :

Passo 4

Agora, colocamos esses resultados como colunas da matriz . Assim, a matriz canônica de é:

Passo 5

Para verificar a relação , vamos multiplicar a matriz pelo vetor :
Isso confirma que é realmente igual a .

Resposta

A matriz canônica da transformação linear é:
E verificamos que:

Exercícios relacionados

Verifique se as funções são ou não transformações lineares: dada por ;
iv) . Analise a dependência em relação a variável .
A matriz abaixo tem alguma propriedade especial?
Scjam
Calcule:
(g)