A matriz abaixo tem alguma propriedade especial?
[ccc 2 & -2 & -4 -1 & 3 & 4 1 & -2 & -3 ]

Passo 1

Então, vamos lá! A gente recebeu uma matriz e a pergunta é se ela tem alguma propriedade especial. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar verificar diferentes características da matriz, como seu determinante, se ela é invertível, se é simétrica, entre outras propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se a matriz é simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, se os elementos em posição (i, j) forem iguais aos de (j, i). Vamos transpor a matriz e comparar:
Matriz original:
[ccc 2 & -2 & -4 -1 & 3 & 4 1 & -2 & -3 ]
Transposta:
[ccc 2 & -1 & 1 -2 & 3 & -2 -4 & 4 & -3 ]
Observamos que a matriz original não é igual à sua transposta, então ela não é simétrica.

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz. O determinante nos ajuda a saber se a matriz é invertível. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa.
Vamos calcular o determinante usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Aqui, vamos usar a expansão por cofatores:
det(A) &= 2 cdot 3 & 4 -2 & -3 - (-2) cdot -1 & 4 1 & -3 + (-4) cdot -1 & 3 1 & -2 &= 2 cdot (3 cdot (-3) - 4 cdot (-2)) - (-2) cdot (-1 cdot (-3) - 4 cdot 1) + (-4) cdot (-1 cdot (-2) - 3 cdot 1) &= 2 cdot (-9 + 8) - (-2) cdot (3 - 4) + (-4) cdot (2 - 3) &= 2 cdot (-1) - (-2) cdot (-1) + (-4) cdot (-1) &= -2 - 2 + 4 &= 0
O determinante é zero, então a matriz não é invertível.

Passo 4

Outra propriedade que podemos verificar é o posto (ou rank) da matriz. O posto nos diz o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Se o posto for menor que o tamanho da matriz, ela é considerada singular.
Como já vimos que o determinante é zero, sabemos que o posto é menor que 3, o que confirma que a matriz é singular.

Resposta

A matriz apresentada é uma matriz singular, ou seja, seu determinante é zero e ela não é invertível.

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