Verifique se as funções são ou não transformações lineares: T: R^2 longrightarrow R^2 dada por T(x, y)=(4 x-2 y, x+2 y);

Passo 1

Vamos analisar se a função definida por é uma transformação linear. Para isso, precisamos usar conceitos de álgebra linear que verificam as propriedades de linearidade.

Passo 2

Uma transformação linear deve satisfazer duas propriedades principais:
  1. Adição de vetores:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.

Passo 3

Primeiro, vamos verificar a adição de vetores. Sejam T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (4(x1 + x2) - 2(y1 + y2), (x1 + x2) + 2(y1 + y2)) e = (4x1 + 4x2 - 2y1 - 2y2, x1 + x2 + 2y1 + 2y2) .
Calculamos T(u) + T(v) = (4x1 - 2y1, x1 + 2y1) + (4x2 - 2y2, x2 + 2y2) :
= (4x1 - 2y1 + 4x2 - 2y2, x1 + 2y1 + x2 + 2y2)
Simplificando:
= (4x1 + 4x2 - 2y1 - 2y2, x1 + x2 + 2y1 + 2y2)
Agora, calculamos :
Como , a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja T(cu) = T(cx, cy) = (4(cx) - 2(cy), (cx) + 2(cy)) um escalar e = (c(4x) - c(2y), c(x) + c(2y)) = c(4x - 2y, x + 2y) .
Calculamos = cT(u) :
Simplificando:
Portanto, , e a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.

Resposta

Sim, a função é uma transformação linear.

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