Verifique se as funções são ou não transformações lineares:
dada por
;
Passo 1
Vamos analisar se a função
definida por
é uma transformação linear. Para isso, precisamos usar conceitos de álgebra linear que verificam as propriedades de linearidade.
Passo 2
Uma transformação linear deve satisfazer duas propriedades principais:
- Adição de vetores:
- Multiplicação por escalar:
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar a adição de vetores. Sejam
e
.
Calculamos
:
Simplificando:
Agora, calculamos
:
Como
, a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
.
Calculamos
:
Simplificando:
Portanto,
, e a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Resposta
Sim, a função
é uma transformação linear.