Determine se a matriz dada está na forma escalonada por linhas (FE). Se estiver, Indique se ela também está na forma escalonada reduzida (FER).
(f) (cccc1 & 0 & 5 & -3 0 & 1 & 4 & 2 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a matriz que você mandou está na forma escalonada por linhas (FE). Se estiver, também vamos ver se ela está na forma escalonada reduzida (FER). Para isso, vamos lembrar o que cada uma dessas formas significa e o que precisamos olhar na matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a forma escalonada por linhas (FE). Uma matriz está nessa forma se:
  1. As linhas todas não-nulas ficam acima das linhas nulas.
  2. O primeiro número diferente de zero (chamado de pivô) de cada linha está à direita do pivô da linha de cima.
  3. Os pivôs são 1 e estão sozinhos na sua coluna.
Vamos analisar a matriz:
1 & 0 & 5 & -3 0 & 1 & 4 & 2 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0

Passo 3

Primeiro critério da FE: Todas as linhas não-nulas estão acima das linhas nulas. Aqui, a última linha é a única nula (todas as entradas são zero) e está de fato na última posição, então está ok.
Segundo critério da FE: O pivô de cada linha está à direita do pivô da linha acima. Na primeira linha, o pivô é 1 na primeira coluna. Na segunda linha, o pivô é 1 na segunda coluna, que está à direita da primeira coluna. Na terceira linha, o pivô é 1 na quarta coluna, que está à direita da segunda coluna. Tudo certinho!
Terceiro critério da FE: Os pivôs são 1 e estão sozinhos na sua coluna. Vamos ver:
  • Na primeira coluna, só temos o 1 na primeira linha.
  • Na segunda coluna, só temos o 1 na segunda linha.
  • Na quarta coluna, só temos o 1 na terceira linha.
Então, está tudo de acordo com os critérios da FE.

Passo 4

Agora, vamos ver se a matriz está na forma escalonada reduzida (FER). Além de cumprir tudo que a FE exige, na FER cada pivô deve ser o único número diferente de zero na sua coluna, ou seja, todos os outros elementos dessa coluna devem ser zero.
Vamos verificar:
  • Primeira coluna: O pivô é 1 na primeira linha e todas as outras entradas na coluna são zero. Ok.
  • Segunda coluna: O pivô é 1 na segunda linha e todas as outras entradas na coluna são zero. Ok.
  • Quarta coluna: O pivô é 1 na terceira linha, mas olha só, na primeira e segunda linhas temos outros números nessa coluna (-3 e 2). Isso não está certo!
Então, a matriz não está na forma escalonada reduzida porque os pivôs não são os únicos números diferentes de zero nas suas colunas.

Resposta

A matriz está na forma escalonada por linhas (FE), mas não está na forma escalonada reduzida (FER).

Exercícios relacionados

Efetuar:
(b) j times(2 i)
Determine se a matriz dada está na forma escalonada por linhas (FE). Se estiver, Indique se ela também está na forma escalonada reduzida (FER).
(d) (lllll0 & 1 & 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 4 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1)
Use operações elementares para reduzir a matriz dada às formas (i) escalonada por linhas e (ii) escalonada reduzida por linhas
(a) (lll1 & 0 & 3 5 & 1 & 1 0 & 1 & 2)
Efetuar:
(e) (3 i) cdot(2 j)