Use operações elementares para reduzir a matriz dada às formas (i) escalonada por linhas e (ii) escalonada reduzida por linhas
(a) (lll1 & 0 & 3 5 & 1 & 1 0 & 1 & 2)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma matriz:
1 & 0 & 3 5 & 1 & 1 0 & 1 & 2
E precisamos usar operações elementares para transformá-la em duas formas: a forma escalonada por linhas e a forma escalonada reduzida por linhas. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre transformação de matrizes usando operações elementares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as operações elementares de linha:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
  3. Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha para outra linha.
Nosso objetivo é usar essas operações para deixar a matriz na forma escalonada.

Passo 3

Olha a primeira linha da matriz original:
1 & 0 & 3 5 & 1 & 1 0 & 1 & 2
Já que o elemento está na posição , a gente pode usar essa linha para eliminar os elementos abaixo dela na primeira coluna.

Passo 4

Vamos eliminar o Linha 2 = Linha 2 - 5 times Linha 1 na posição 5 - 5 times 1 = 0 1 - 5 times 0 = 1 1 - 5 times 3 = 1 - 15 = -14 . Para isso, podemos substituir a segunda linha pela segunda linha menos 5 vezes a primeira linha:
1 & 0 & 3 0 & 1 & -14 0 & 1 & 2
Fazendo a conta:
Então a matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos eliminar o elemento 1 & 0 & 3 0 & 1 & -14 0 & 1 & 2 na posição . Como ele já está zero, não precisamos fazer nada aqui. A matriz permanece:

Passo 6

Agora, focamos na segunda coluna. Queremos que abaixo do Linha 3 = Linha 3 - Linha 2 na posição 0 - 0 = 0 1 - 1 = 0 2 - (-14) = 16 , todos os elementos sejam zero. Vamos eliminar o 1 & 0 & 3 0 & 1 & -14 0 & 0 & 16 na posição .
Fazemos:
Calculando:
A matriz fica:
Essa é a forma escalonada por linhas!

Passo 7

Agora, vamos transformar essa matriz em forma escalonada reduzida por linhas, onde além de estar na forma escalonada, cada pivô (primeiro elemento não-zero de cada linha) é 1 e é o único elemento não-zero na sua coluna.
Primeiro, vamos transformar o Linha 3 = 116 times Linha 3 na posição 1 & 0 & 3 0 & 1 & -14 0 & 0 & 1 em . Para isso, dividimos a terceira linha por :
Resultado:

Passo 8

Agora, vamos eliminar os Linha 1 = Linha 1 - 3 times Linha 3 e 1 - 0 = 1 0 - 0 = 0 3 - 3 times 1 = 0 acima do último pivô (o 1 & 0 & 0 0 & 1 & -14 0 & 0 & 1 na posição ).
Primeiro, eliminamos o na posição :
Calculando:
A matriz fica:

Passo 9

Por último, eliminamos o Linha 2 = Linha 2 + 14 times Linha 3 na posição 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 -14 + 14 times 1 = 0 :
1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Calculando:
A matriz final fica:
Essa é a forma escalonada reduzida por linhas!

Resposta

A forma escalonada por linhas da matriz dada é:
1 & 0 & 3 0 & 1 & -14 0 & 0 & 16
E a forma escalonada reduzida por linhas é a matriz identidade:
1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Exercícios relacionados

Determine se a matriz dada está na forma escalonada por linhas (FE). Se estiver, Indique se ela também está na forma escalonada reduzida (FER).
(f) (cccc1 & 0 & 5 & -3 0 & 1 & 4 & 2 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0)
Efetuar:
(b) j times(2 i)
Efetuar:
(e) (3 i) cdot(2 j)
Use operações elementares para reduzir a matriz dada às formas (i) escalonada por linhas e (ii) escalonada reduzida por linhas
© (cccc1 & 2 & -3 & 1 -1 & 0 & 3 & 1 0 & 1 & 2 & -1 2 & 3 & 0 & -3)