Determine se a matriz dada está na forma escalonada por linhas (FE). Se estiver, Indique se ela também está na forma escalonada reduzida (FER).
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente verificar se uma matriz está na forma escalonada por linhas (FE) e, se estiver, se ela também está na forma escalonada reduzida (FER). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear que envolvem a estrutura das matrizes e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a forma escalonada por linhas (FE). Uma matriz está em FE se ela satisfaz três condições:
- Todas as linhas nulas estão embaixo das não nulas.
- O primeiro número diferente de zero em cada linha (chamado de pivô) está à direita do pivô da linha acima.
- Todos os elementos abaixo de um pivô são zeros.
Vamos analisar a matriz dada:
Passo 3
1. Verificando as linhas nulas:
A última linha é totalmente nula, e todas as outras linhas acima dela são não nulas. Então, essa condição está satisfeita.
2. Verificando a posição dos pivôs:
- Primeira linha: O pivô é 1 na primeira coluna.
- Segunda linha: O pivô é 1 na terceira coluna, que está à direita do pivô da primeira linha.
- Terceira linha: O pivô é 1 na quarta coluna, novamente à direita do pivô da segunda linha.
- Quarta linha: É nula, como já vimos.
Tudo certo até aqui!
3. Verificando os zeros abaixo dos pivôs:
- Na primeira coluna, abaixo do pivô (1), todos os elementos são zeros.
- Na terceira coluna, abaixo do pivô (1), todos os elementos são zeros.
- Na quarta coluna, abaixo do pivô (1), todos os elementos são zeros.
Todas as condições da FE estão atendidas.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a matriz está na forma escalonada reduzida (FER). Além das condições da FE, a FER exige:
- Cada pivô é 1.
- Cada pivô é o único elemento diferente de zero na sua coluna.
Vamos conferir:
1. Pivôs são 1:
Já vimos que os pivôs são 1 nas colunas 1, 3 e 4. Ok!
2. Pivôs são os únicos não zeros nas suas colunas:
- Coluna 1: Apenas o 1 na primeira linha é diferente de zero.
- Coluna 3: Apenas o 1 na segunda linha é diferente de zero.
- Coluna 4: Apenas o 1 na terceira linha é diferente de zero.
Tudo certo aqui também!
Resposta
A matriz está na forma escalonada por linhas (FE) e também na forma escalonada reduzida (FER).
Exercícios relacionados
Dadas as matrizes
Calcule:
c)-3 A-B
c)
Determine se a matriz dada está na forma escalonada por linhas (FE). Se estiver, Indique se ela também está na forma escalonada reduzida (FER).
(a)(lll1 & 0 & 1 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0)
(a)
Dadas as matrizes
Calcule:
d)5 A+5 B
d)
Determine se a matriz dada está na forma escalonada por linhas (FE). Se estiver, Indique se ela também está na forma escalonada reduzida (FER).
(e)(cccc1 & 3 & 4 & 1 0 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 1 & -5 0 & 0 & 0 & 0)
(e)