Determine a matriz da forma bilinear B: V times V na base alpha subset V indicada e escreva B na sua forma matricial: B: R^2 times R^2 R, B((x1, y1),(x2, y2))=-x1 x2+x2 y1-3 y1 y2, alpha=(1,-1),(1,1);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz que representa uma forma bilinear no espaço usando uma base específica . Para isso, vamos usar os conceitos de formas bilineares e mudança de base. Vamos precisar entender como uma forma bilinear se relaciona com matrizes e como representá-la na base dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma forma bilinear. É uma função B((x1, y1),(x2, y2)) = -x1 x2 + x2 y1 - 3 y1 y2 que é linear em cada argumento. No nosso caso, e a forma bilinear é definida por:
Queremos representar essa forma como uma matriz na base .

Passo 3

Para encontrar a matriz da forma bilinear na base , precisamos calcular para todos os pares de vetores da base , onde e .

Passo 4

Vamos calcular os elementos da matriz:
  1. B((1,-1),(1,-1)) = -1 cdot 1 + 1 cdot (-1) - 3 cdot (-1) cdot (-1) = -1 -1 -3 = -5
B((1,-1),(1,1)) = -1 cdot 1 + 1 cdot (-1) - 3 cdot (-1) cdot 1 = -1 -1 + 3 = 1
  1. B((1,1),(1,-1)) = -1 cdot 1 + 1 cdot 1 - 3 cdot 1 cdot (-1) = -1 +1 +3 = 3
B((1,1),(1,1)) = -1 cdot 1 + 1 cdot 1 - 3 cdot 1 cdot 1 = -1 +1 -3 = -3

Passo 5

Agora que temos todos os valores, podemos montar a matriz da forma bilinear MB = B(e1, e1) & B(e1, e2) B(e2, e1) & B(e2, e2) = -5 & 1 3 & -3 na base :

Resposta

A matriz da forma bilinear MB = -5 & 1 3 & -3 na base é:

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