Encontre uma transformação linear T: R^2 R^2 tal que T(1,1)=(1,0) e T(1,-1)=(0,1).

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um problema de transformações lineares. Uma transformação linear é tipo uma função que pega vetores de um espaço e os transforma em vetores de outro espaço, respeitando algumas regras. No caso, queremos encontrar uma transformação linear que transforma os vetores em e em . Para resolver isso, vamos precisar entender como representar essa transformação usando uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer transformação linear de para pode ser representada por uma matriz 2x2. Ou seja, , onde é um vetor em . Nossa missão é descobrir os valores de que fazem com que e .

Passo 3

Vamos assumir que a matriz A = a & b c & d tem a forma:
T(1,1) = A 1 1 = a(1) + b(1) c(1) + d(1) = a + b c + d = 1 0
Agora, aplicando a + b = 1 e c + d = 0 nos vetores dados:
Isso nos dá duas equações:

Passo 4

Fazendo o mesmo para T(1,-1) = A 1 -1 = a(1) + b(-1) c(1) + d(-1) = a - b c - d = 0 1 :
a - b = 0 e c - d = 1
Isso nos dá mais duas equações:

Passo 5

Agora, temos um sistema de quatro equações:
a + b = 1 c + d = 0 a - b = 0 c - d = 1
Resolvendo a terceira equação a + a = 1 Rightarrow 2a = 1 Rightarrow a = 12 , temos c + d = 0 e c - d = 1 . Substituindo na primeira equação:
2c = 1 Rightarrow c = 12
Então, 12 + d = 0 Rightarrow d = -12 .
Agora, resolvendo a segunda e quarta equações:
Somando as duas equações:
Substituindo em :

Resposta

Então, a matriz que representa a transformação linear A = 12 & 12 12 & -12 é:
T(x) = 12 & 12 12 & -12 x
Isso significa que a transformação linear é dada por:

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