Beleza, então o que a gente tem aqui é um problema de transformações lineares. Uma transformação linear é tipo uma função que pega vetores de um espaço e os transforma em vetores de outro espaço, respeitando algumas regras. No caso, queremos encontrar uma transformação linear que transforma os vetores em e em . Para resolver isso, vamos precisar entender como representar essa transformação usando uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer transformação linear de para pode ser representada por uma matriz 2x2. Ou seja, , onde é um vetor em . Nossa missão é descobrir os valores de que fazem com que e .
Passo 3
Vamos assumir que a matriz tem a forma:
Agora, aplicando nos vetores dados:
Isso nos dá duas equações:
Passo 4
Fazendo o mesmo para :
Isso nos dá mais duas equações:
Passo 5
Agora, temos um sistema de quatro equações:
Resolvendo a terceira equação a + a = 1 Rightarrow 2a = 1 Rightarrow a = 12 , temos c + d = 0 e c - d = 1 . Substituindo na primeira equação:
2c = 1 Rightarrow c = 12
Então, 12 + d = 0 Rightarrow d = -12 .
Agora, resolvendo a segunda e quarta equações:
Somando as duas equações:
Substituindo em :
Resposta
Então, a matriz que representa a transformação linear A = 12 & 12 12 & -12 é:
T(x) = 12 & 12 12 & -12 x
Isso significa que a transformação linear é dada por: