Existe uma única transformação linear T: R^2 R^2 tal que T(1,1)=(1,0) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é sobre transformações lineares, que são funções que respeitam certas propriedades em espaços vetoriais. Aqui, estamos trabalhando com uma transformação linear e queremos saber se há uma única transformação que leva o vetor para . Para resolver isso, vamos precisar entender como as transformações lineares funcionam e como elas são determinadas pelos vetores que transformam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear em é completamente definida pelas imagens de dois vetores que formam uma base desse espaço. Uma base comum para é formada pelos vetores e .

Passo 3

No nosso caso, a transformação precisa satisfazer . Podemos expressar o vetor como a soma dos vetores da base: .

Passo 4

Aplicando a transformação linear T(1,1) = T(1,0) + T(0,1) = (1,0) nessa soma, temos:
Isso significa que a soma das imagens dos vetores da base deve ser igual a .

Passo 5

No entanto, isso só nos dá uma equação:
T(1,0) + T(0,1) = (1,0)
Com duas incógnitas (as imagens de e ), não conseguimos determinar uma única solução. Existem infinitas combinações de e que satisfazem essa equação.

Passo 6

Por exemplo, se escolhermos , então necessariamente . Mas também poderíamos escolher e , e ainda assim teríamos .

Resposta

Não, não existe uma única transformação linear tal que . Existem infinitas transformações que satisfazem essa condição.

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