Existe uma única transformação linear
tal que
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão é sobre transformações lineares, que são funções que respeitam certas propriedades em espaços vetoriais. Aqui, estamos trabalhando com uma transformação linear
e queremos saber se há uma única transformação que leva o vetor
para
. Para resolver isso, vamos precisar entender como as transformações lineares funcionam e como elas são determinadas pelos vetores que transformam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear em
é completamente definida pelas imagens de dois vetores que formam uma base desse espaço. Uma base comum para
é formada pelos vetores
e
.
Passo 3
No nosso caso, a transformação
precisa satisfazer
. Podemos expressar o vetor
como a soma dos vetores da base:
.
Passo 4
Aplicando a transformação linear
nessa soma, temos:
Isso significa que a soma das imagens dos vetores da base deve ser igual a
.
Passo 5
No entanto, isso só nos dá uma equação:
Com duas incógnitas (as imagens de
e
), não conseguimos determinar uma única solução. Existem infinitas combinações de
e
que satisfazem essa equação.
Passo 6
Por exemplo, se escolhermos
, então necessariamente
. Mas também poderíamos escolher
e
, e ainda assim teríamos
.
Resposta
Não, não existe uma única transformação linear
tal que
. Existem infinitas transformações que satisfazem essa condição.
Exercícios relacionados
Determine a matriz da forma bilinear
na base
indicada e escreva
na sua forma matricial:
base canônica do
;
Determine a matriz da forma bilinear
na base
indicada e escreva
na sua forma matricial:
;
Determine a matriz da forma bilinear
na base
indicada e escreva
na sua forma matricial:
;
Sejax}=(1,-2,1,6) em
, e seja
.
Mostre que é outro base ortogonal de
.
Mostre que