Determine a matriz da forma bilinear B: V times V na base alpha subset V indicada e escreva B na sua forma matricial: B: R^2 times R^2 R, B((x1, y1),(x2, y2))=-x1 x2+x2 y1-3 y1 y2, alpha= base canônica do R^2;

Passo 1

Então, vamos resolver um exercício de álgebra linear sobre formas bilineares. A gente precisa encontrar a matriz que representa essa forma bilinear B no espaço R^2, usando a base canônica. Para isso, vamos precisar entender como a forma bilinear funciona e como construir sua matriz a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma forma bilinear. É uma função que pega dois vetores de um espaço vetorial e retorna um número real, de maneira que é linear em cada um dos vetores separadamente. No nosso caso, a forma bilinear é dada por:
B((x1, y1),(x2, y2)) = -x1 x2 + x2 y1 - 3 y1 y2

Passo 3

Agora, para encontrar a matriz dessa forma bilinear na base canônica, precisamos calcular B(ei, ej) para cada par de vetores da base, onde e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1). Esses valores vão preencher os elementos da matriz.

Passo 4

Vamos calcular cada elemento da matriz:
  • B(e1, e1):
B((1, 0), (1, 0)) = -1 cdot 1 + 1 cdot 0 - 3 cdot 0 cdot 0 = -1
  • B(e1, e2):
B((1, 0), (0, 1)) = -1 cdot 0 + 0 cdot 0 - 3 cdot 0 cdot 1 = 0
  • B(e2, e1):
B((0, 1), (1, 0)) = -0 cdot 1 + 1 cdot 1 - 3 cdot 1 cdot 0 = 1
  • B(e2, e2):
B((0, 1), (0, 1)) = -0 cdot 0 + 0 cdot 1 - 3 cdot 1 cdot 1 = -3

Passo 5

Com esses valores, montamos a matriz da forma bilinear B na base canônica:
[
B(e1, e1) & B(e1, e2) B(e2, e1) & B(e2, e2) = -1 & 0 1 & -3


]

Resposta

A forma matricial de B na base canônica é:
-1 & 0 1 & -3

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