Existe transformação linear
tal que
e
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pergunta se existe uma transformação linear
que manda o vetor
para
e o vetor
para
. Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares, que são funções que preservam a estrutura vetorial, ou seja, respeitam as operações de adição e multiplicação por escalar. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar uma transformação linear por meio de matrizes e verificar se as condições dadas podem ser satisfeitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer transformação linear
de
para
pode ser representada por uma matriz
de ordem
, tal que
. Ou seja, se encontramos uma matriz
que satisfaz as condições dadas, então a transformação existe.
Passo 3
Vamos supor que a matriz
é formada por dois vetores coluna
. Então, temos:
Isso nos dá as equações:
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda condição
:
Isso nos dá mais duas equações:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações. Da primeira condição:
Substituindo na segunda equação:
Isso é um absurdo, ou seja, chegou-se a uma contradição.
Resposta
Não, não existe uma transformação linear
que satisfaça
e
.
Exercícios relacionados
Encontre uma transformação linear
tal que
e
.
Determine quais das seguintes aplicações são lineares:
.
Determine a matriz da forma bilinear
na base
indicada e escreva
na sua forma matricial:
;
Determine a matriz da forma bilinear
na base
indicada e escreva
na sua forma matricial:
base canônica do
;