Existe transformação linear T: R^2 R^2 tal que T(1,1)=(1,0) e T(2,2)=(0,1) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta se existe uma transformação linear que manda o vetor para e o vetor para . Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares, que são funções que preservam a estrutura vetorial, ou seja, respeitam as operações de adição e multiplicação por escalar. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar uma transformação linear por meio de matrizes e verificar se as condições dadas podem ser satisfeitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de ordem , tal que . Ou seja, se encontramos uma matriz que satisfaz as condições dadas, então a transformação existe.

Passo 3

Vamos supor que a matriz a & c b & d é formada por dois vetores coluna T(1,1) = a & c b & d 1 1 = a + c b + d = 1 0 . Então, temos:
a + c = 1 e b + d = 0
Isso nos dá as equações:

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda condição T(2,2) = a & c b & d 2 2 = 2a + 2c 2b + 2d = 0 1 :
2a + 2c = 0 e 2b + 2d = 1
Isso nos dá mais duas equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações. Da primeira condição:
a + c = 1 Rightarrow c = 1 - a
Substituindo na segunda equação:
2a + 2(1 - a) = 0 Rightarrow 2a + 2 - 2a = 0 Rightarrow 2 = 0
Isso é um absurdo, ou seja, chegou-se a uma contradição.

Resposta

Não, não existe uma transformação linear que satisfaça e .

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Encontre uma transformação linear T: R^2 R^2 tal que T(1,1)=(1,0) e T(1,-1)=(0,1).
Determine quais das seguintes aplicações são lineares: f: M2(R) R, f(A)=det(A).
Determine a matriz da forma bilinear B: V times V na base alpha subset V indicada e escreva B na sua forma matricial: B: R^2 times R^2 R, B((x1, y1),(x2, y2))=-x1 x2+x2 y1-3 y1 y2, alpha=(1,-1),(1,1);
Determine a matriz da forma bilinear B: V times V na base alpha subset V indicada e escreva B na sua forma matricial: B: R^2 times R^2 R, B((x1, y1),(x2, y2))=-x1 x2+x2 y1-3 y1 y2, alpha= base canônica do R^2;