Determine a matriz da forma bilinear B: V times V na base alpha subset V indicada e escreva B na sua forma matricial: B: R^2 times R^2 R, B((x1, y1),(x2, y2))=-x1 x2+x2 y1-3 y1 y2, alpha=(1,1),(0,1);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a matriz de uma forma bilinear definida no espaço vetorial , usando uma base específica . Para isso, vamos precisar entender como uma forma bilinear é representada por uma matriz e como calcular os elementos dessa matriz usando a base fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma forma bilinear. Basicamente, é uma função que pega dois vetores e retorna um número real, obedecendo certas propriedades de linearidade em cada argumento. No nosso caso, a forma bilinear B((x1, y1), (x2, y2)) = -x1x2 + x2 y1 - 3 y1 y2 é dada por:

Passo 3

Para encontrar a matriz que representa essa forma bilinear na base e1 = (1, 1) e e2 = (0, 1) , a gente precisa calcular para todos os pares de vetores da base. A matriz resultante terá suas entradas dadas por , onde e são os vetores da base.
Nossa base tem dois vetores:

Passo 4

Vamos calcular cada entrada da matriz:
  1. B((1,1), (1,1)) = -1 cdot 1 + 1 cdot 1 - 3 cdot 1 cdot 1 = -1 + 1 - 3 = -3 :
B((1,1), (0,1)) = -1 cdot 0 + 0 cdot 1 - 3 cdot 1 cdot 1 = 0 + 0 - 3 = -3
  1. B((0,1), (1,1)) = -0 cdot 1 + 1 cdot 1 - 3 cdot 1 cdot 1 = 0 + 1 - 3 = -2 :
B((0,1), (0,1)) = -0 cdot 0 + 0 cdot 1 - 3 cdot 1 cdot 1 = 0 + 0 - 3 = -3
  1. :
  1. :

Passo 5

Agora, vamos organizar esses valores na matriz. Cada B(e1, e1) & B(e1, e2) B(e2, e1) & B(e2, e2) = -3 & -3 -2 & -3 vai para a posição correspondente na matriz:

Resposta

A matriz da forma bilinear -3 & -3 -2 & -3 na base é:

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Existe uma única transformação linear T: R^2 R^2 tal que T(1,1)=(1,0) ?
Determine a matriz da forma bilinear B: V times V na base alpha subset V indicada e escreva B na sua forma matricial: B: R^2 times R^2 R, B((x1, y1),(x2, y2))=-x1 x2+x2 y1-3 y1 y2, alpha= base canônica do R^2;
Sejax}=(1,-2,1,6) em R^4, e seja
U=[(2,1,3-4),(1,2,0,1)].
Mostre que (1,0,2,-3),(4,7,1,2) é outro base ortogonal de U.
Determine a matriz da forma bilinear B: V times V na base alpha subset V indicada e escreva B na sua forma matricial: B: R^3 times R^3 R, B((x1, y1, z1),(x2, y2, z2))=x1 x2-2 x1 z2+3 y1 y2-z1 z2, alpha=(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1);