Determine a matriz tal que onde

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma matriz que, quando multiplicada pela matriz , resulte na matriz . Ou seja, queremos que .
Matérias envolvidas:
  • Álgebra Linear: especificamente, multiplicação de matrizes e resolução de sistemas lineares.
  • Teoria das Matrizes: entender como as dimensões das matrizes se relacionam durante a multiplicação.
O que precisamos:
  • Saber como multiplicar matrizes.
  • Resolver um sistema de equações lineares para encontrar os elementos de .

Passo 2

Vamos começar identificando as dimensões das matrizes envolvidas:
  • A matriz é de dimensão (2 linhas e 3 colunas).
  • A matriz é de dimensão (3 linhas e 3 colunas).
Sabemos que para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda. Como queremos , isso significa que deve ter o mesmo número de linhas que (que é 3) e o mesmo número de colunas que tem linhas (que é 2). Portanto, será uma matriz de dimensão .
Vamos representar da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar por e igualar ao . A multiplicação de matrizes funciona assim:

[
H \times A =

\times


]
Queremos que isso seja igual a , então:

Passo 4

Agora, vamos igualar os elementos correspondentes das duas matrizes para formar um sistema de equações:
Para a primeira linha:
Para a segunda linha:
Para a terceira linha:

Passo 5

Vamos resolver cada conjunto de equações separadamente.
Primeira Linha:
çã
Substituindo na primeira equação da linha:
Verificamos na terceira equação:
Segunda Linha:
çã
Substituindo na primeira equação da segunda linha:
Verificamos na terceira equação:
Terceira Linha:
çã
Substituindo na primeira equação da terceira linha:
Verificamos na terceira equação:

Resposta

A matriz que satisfaz é:

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Mostre que não é associativa, isto é, .
Encontre a fórmula para em função de e e calcule .
Mostre que se tem
(a) Sendo e , calcule .