Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma matriz que, quando multiplicada pela matriz , resulte na matriz . Ou seja, queremos que .
Matérias envolvidas:
Álgebra Linear: especificamente, multiplicação de matrizes e resolução de sistemas lineares.
Teoria das Matrizes: entender como as dimensões das matrizes se relacionam durante a multiplicação.
O que precisamos:
Saber como multiplicar matrizes.
Resolver um sistema de equações lineares para encontrar os elementos de .
Passo 2
Vamos começar identificando as dimensões das matrizes envolvidas:
A matriz H = h11 & h12 h21 & h22 h31 & h32 é de dimensão (2 linhas e 3 colunas).
A matriz é de dimensão (3 linhas e 3 colunas).
Sabemos que para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda. Como queremos , isso significa que deve ter o mesmo número de linhas que (que é 3) e o mesmo número de colunas que tem linhas (que é 2). Portanto, será uma matriz de dimensão .
Vamos representar da seguinte forma:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar H times A = h11 & h12 h21 & h22 h31 & h32 times 1 & 0 & 2 2 & 1 & 3 = h11 times 1 + h12 times 2 & h11 times 0 + h12 times 1 & h11 times 2 + h12 times 3 h21 times 1 + h22 times 2 & h21 times 0 + h22 times 1 & h21 times 2 + h22 times 3 h31 times 1 + h32 times 2 & h31 times 0 + h32 times 1 & h31 times 2 + h32 times 3 por H times A = B = 4 & 2 & 6 3 & 1 & 5 2 & 0 & 4 e igualar ao . A multiplicação de matrizes funciona assim:
[
H \times A =
\times
]
Queremos que isso seja igual a , então:
Passo 4
Agora, vamos igualar os elementos correspondentes das duas matrizes para formar um sistema de equações:
Para a primeira linha:
h11 times 1 + h12 times 2 = 4 h11 times 0 + h12 times 1 = 2 h11 times 2 + h12 times 3 = 6
Para a segunda linha:
h21 times 1 + h22 times 2 = 3 h21 times 0 + h22 times 1 = 1 h21 times 2 + h22 times 3 = 5
Para a terceira linha:
h31 times 1 + h32 times 2 = 2 h31 times 0 + h32 times 1 = 0 h31 times 2 + h32 times 3 = 4
Passo 5
Vamos resolver cada conjunto de equações separadamente.
Primeira Linha:
h12 = 2 (da segunda equação) h11 + 2 times 2 = 4 h11 times 2 + 2 times 3 = 6 çã
Substituindo h11 + 4 = 4 Rightarrow h11 = 0 na primeira equação da linha:
0 times 2 + 6 = 6 (Confere)
Verificamos na terceira equação:
h22 = 1 (da segunda equação) h21 + 2 times 1 = 3 h21 times 2 + 3 times 1 = 5
Segunda Linha:
h21 + 2 = 3 Rightarrow h21 = 1 çã
Substituindo 2 times 1 + 3 = 5 (Confere) na primeira equação da segunda linha:
h32 = 0 (da segunda equação) h31 + 2 times 0 = 2 h31 times 2 + 0 times 3 = 4
Verificamos na terceira equação:
h31 = 2
Terceira Linha:
2 times 2 + 0 = 4 (Confere) çã
Substituindo na primeira equação da terceira linha: